今日的无用冷知识

在捷克布拉格老城广场的市政厅的墙上有座最初建于1410年的天文钟，是出名的旅游景点。 一到正点时分，首先表盘上方的两个窗口打开，十二个使徒雕像走马灯般经过，然后窗户关上，钟声敲响。这个天文钟的表盘和普通的十二小时表盘不同，是二十四小时的刻度，到了几点，钟就敲几下。

普通的钟是怎么做到到几点敲几下呢？在十七世纪以前，它由一个类似附图的机构实现，其中齿轮A储存了“敲几下”信息：较深的凹槽代表各个正点，它们之间的较浅齿的个数则代表了敲钟的次数。所以这样一个齿轮上有12个深槽和1+2+3+……+12=78个浅齿。

如果把这个机构推广到24小时的情况，就必须造一个有24个深槽和1+2+3+……+24=300个浅齿的齿轮。能不能减少一下齿的个数呢？

布拉格天文钟使用了这样一个数列：

1 2 3 4 3 2

把这个数列重复写上许多次（比如说20次）：

1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 3 2 ……

在数字间隙中适当加入+号和括号成为

(1) (2) (3) (4) (3+2) (1+2+3) (4+3) (2+1+2+3) (4+3+2) (1+2+3+4) (3+2+1+2+3) (4+3+2+1+2) (3+4+3+2+1) (2+3+4+3+2) (1+2+3+4+3+2) (1+2+3+4+3+2+1) (2+3+4+3+2+1+2) (3+4+3+2+1+2+3) (4+3+2+1+2+3+4) (3+2+1+2+3+4+3+2) (1+2+3+4+3+2+1+2+3) (4+3+2+1+2+3+4+3) (2+1+2+3+4+3+2+1+2+3) (4+3+2+1+2+3+4+3+2) ……

算一下每个括号之中那些数之和，你会发现上面就是一个1，2，3，……一直到24的序列（如果你愿意的话，还可以继续下去一直到无穷地产生出整个自然数序列来）。

所以布拉格天文钟控制钟声次数的储存器由两个齿轮构成：

第一个齿轮有6个深槽，深槽之间的浅齿数形成1 2 3 4 3 2序列，即15个浅齿；

第二个齿轮有24个深槽，深槽之间的浅齿数形成1 1 1 1 2 3 2 4 3 4 5 5 5 5 6 7 7 7 7 8 9 8 10 9序列（也即上面每对括号中数字的个数），共120个浅齿。

于是当某点整来临时，第二个齿轮控制了第一个齿轮要转过几个深槽，而第一个齿轮则用来敲响这几个深槽之间的浅齿数之和次数的钟声。

象1 2 3 4 3 2这样能生成自然数序列的序列被称作“布拉格钟”，2016年康威等人发表了一篇文章，来找到所有的布拉格钟。