离散与连续 | 机核 GCORES

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这篇文章分享的是我自己近来在思考数学时冒出来的想法，但不是数学领域的科普，而是跨学科时碰撞出的灵感和理解的总集。 我觉得它会带来一些什么，但我一个人没法把这些东西做出来，所以我想尽快把这份发现分享出去。
第一阶段·四量根系 
我最开始对数量关系的研究始于对四种基本量的研究。这个阶段的研究是基础且直观的，所以难度不会超出小学水平。
P（基准量）：对象范畴； 运动起点在当前框架中的量，并承担参照职能。
P'（比较量）：对象范畴；运动另一节点在同一框架中的量，通过与 P 的关系取得规定。
ΔP（差异量）：中介范畴；P 与 P'之间的差值关系被对象化后的数量形式。
v（相对差异率）：关系范畴；差异量 ΔP 以 P 为基准取得的标量表达。

   
    
  
   
    
  
   
    
  

这个时候，数还是拿起来就用的现成工具；我的注意力全在“四个量之间的运算意义”与范畴归属——P、P'、ΔP、v 。
这一阶段的另一项思考是为四则运算寻找意义和解释。
我从减法（作差）和除法（作比）开始讨论运算对于四个基础量的意义。加法和乘法作为前两者的逆运算来思考。

   
    
  
   
    
  
   
    
  

四则运算中最特殊的是除法。
在现实分析中， 除法会具有三重不同的意义，但都利用 C=A/B 的结构来建立一种相对的关系。
Ⅰ. 比重（A/B，空间性定位）
形式：A 为部分，B 为整体。比重 = 部分 ÷ 整体。
 比重的本质是在 P′ 这个新整体里，确认某个局部（P或ΔP）占据了多少份额。 
范畴定位：部分与整体 
Ⅱ. 平均数（Σ/n）
形式：Σ 为总量，n 为个体数量。平均数 = 总量 ÷ 个体数。 
平均数是把所有的 ΔP 差异抹平，制造一个“典型值”。 
范畴定位：普遍与特殊
Ⅲ. 倍数（P ′/P）
 形式：  倍数 =  比较量 ÷ 参照量。 
倍数是用单位量来表达被测量者的数量大小。
范畴定位：比较项与参照项。
我研究中第一次遇到解释困难就发生在倍数上，我最开始无法为倍数找到一个合适的范畴来解释倍数的这种比较到底在做什么，应该定位到哪个范畴。甚至一度强行把倍数解释为“时间性的扩张”。
而量现在的这个定义是在研究推进到第二阶段，去考察 数 是怎么诞生的过程中发现的。并且发现倍数的比较在数的诞生过程中发挥了重要作用。
第二阶段·价值形式与单位一 
研究在这里折返：原来第一阶段拿来就用的“基准量 P”，本身需要一个诞生的解释。
这一时期我开始研究线性代数，但关注的核心不是线性代数这个工具能解决什么问题，而是构成线性代数的那个向量空间是如何建立的，坐标系和单位向量（标量）是怎么来的。
讨论是怎样走到线性代数的？

   
    
  
   
    
  
   
    
  

后来我想到一个关键翻转：
每一个确定的数，只不过是被命名并作为对象把握的运动过程；运算则通过数与数的关系，定位这个被命名的对象。 
由此，四量不再被理解为“四个静态对象”，而被重新排列为： 
P：运动在某一位置的截图；
P′：同一运动在另一位置的截图；
ΔP：两次截图之间的差异运动；
v：差异运动相对于基准状态 P 的关系形式。
 最激进的表述是： 
不是先有 P 和 P′，然后才减出 ΔP；在过程本体论的解释里，ΔP的累积是原始运动，而 P,P′ 是对运动的两次截取。 
也可以说，是关系构造出了对象。
这个时候我立即想到的就是《资本论》中商品章节的“等价形式”，并且我意识到：质上殊多的商品在交换中变成账本上的数字的过程，就是我寻找的单位一的诞生过程！
数字的世界就像商品的世界一样结构起来。
理解 质上殊多的商品，如何在交换中变成账本上的数字 和
理解 彼此差异的量，如何在比较中诞生可以计算与变化的数学世界 是同构的！
数学世界中的单位一和商品世界中的货币在结构上的位置是一样的。
为了清楚的展示这一点我得粗略展示一下一般等价物的诞生，更详细的过程可以参阅《资本论》中的等价形式章节。
我知道在这个解释里你会看到一堆数字，我不是说商品的价值形式先于数学，我强调的是这里边有着同样的结构，为了更形象地展示而选择使用商品作为例子。（同时因为这个结构我最早是在《资本论》中学习到的）
我之后会用范畴论的语言来重新描述这个过程。
 20码麻布 = 1件上衣 
这是最简单的等价形式，这个等价形式能够成立，是因为发生了20码麻布和1件上衣的交换。而在人的观念或者说思想里发生的是，用一件上衣去衡量或比较20码麻布，上衣在这里被作为了价值的单位。
一次偶然和特殊的交换不能形成商品的世界，这个过程要扩大。
扩大的等价形式就是一条等号的链条，上边串满了商品。
1公斤小麦 = 20码麻布 = 1件上衣 = 1盒铁钉 = 5块盘子
如果我们把用来交换的商品放在等式左边，把被交换的唯一商品放在右边，就会得到“一般等价形式”

   
    
  
   
    
  
   
    
  

这些差异的商品便获得了一个统一的价值表达形式，表达为它们与一般等价物（在这里是一件上衣）的比值。
这时我们可说：20码麻布值多少，它值一件上衣。
这是一种非常结构主义的过程。在整体的价值形式里，那个成为一般等价物的对象无法表达自己，它对自己是失语的。
或者说，它表达自己时要么表达成 A=A 的同义反复；要么表达为除了它自己之外的一切。那条无限长的比较链条。
一般等价物是商品世界的国王，但这个国王无法有意义地诉说自我。
单位一 就是数学世界中的这个国王， 其他数的概念都可以通过与他的比较获得自己的数值，唯独它自己只能困在“单位一是单位一”的同意循环里。
而 倍数形式（倍数 =  比较量 ÷ 参照量） 就是其他量获得自身意义的方式，我是多少个单位一。

等价形式： 个别代表一般。
上衣这个特殊的、有自己质的具体物，其自然形式直接被当作普遍价值的化身——这正是一切计量单位的原始结构：米原器是巴黎那根特定的铂铱棒，“1米”却量遍天下。单位从来都是“一个个别物被社会地提升为普遍尺度”。 
如果用范畴论来展示这个过程会更清晰（但也更抽象）
对象：⭕，因为可以被你把握、相对于你存在而称对象。
关系：⭕-⭕，两个对象“之间”，首先是作为“界限”将二者划分开来。关系首先作为界限和区别（甚至可以说是对象的自我划分，这一观点之后会进一步发展并揭示一个真相）
态射：⭕→⭕，从一个对象到另一个对象，有人称为映射、有人称为变换，还有人会称之为生成。 
 恒等态射（id）：这里的图像是一个圆圈上加上自指的箭头，以及与另一个圆圈的互指。| idA​=g∘f  

   
    
  
   
    
  
   
    
  

等价物不能表现自己的价值（镜子照不见镜中自己；1元=1元是空转）——任何同一性都无法自我确认，必须绕道他者。
马克思自己的人学版写得更直白：
名叫彼得的人把自己当作人，只是由于他把名叫保罗的人看作是和自己相同的。
这就是 idA​=g∘f 的社会形式
货币：价值的局部化。
扩大形式是扇形（麻布对无穷商品逐一立等式），倒转即收拢：一切商品指向同一个等价物——货币诞生，价值范畴的终端对象。 
而 倍数的除法 = 局部化  ，有理数诞生是人类第一次局部化；货币诞生，是价值世界的第一次局部化。从此一切价值都以货币为“分母”，表达为它的倍数——价格，就是价值以货币单位写出的分数。账本上的数字，是完成局部化的价值。 
第三阶段·三次危机
在第二阶段研究的末期，我开始了解数学史，尤其关注了数学的三次危机。尽管三次数学危机不是数学界统一的用法，但从学科发展史的视角看，三次危机确实对数学家的研究工作带来了巨大影响。
再次提醒，本文更倾向一个思考的灵感合集，只期望这些灵感和想法能带来启发，而不是为了创作一片宏大的数学论文。
这里提到的三次危机指：
第一次数学危机：“让毕达哥拉斯学派崩溃的√2”，无理数带来的认知危机。
第二次数学危机：贝克莱对无穷小量的质问，以及无穷小量的比较引发的数学严谨性危机。
第三次数学危机：康托尔使用“对角线法”实现对无穷的比较，进而引出连续统假设，造成数学界观点大分裂的第三次数学危机
在了解这三次数学危机的过程中我注意到三次数学危机并不是偶然和孤立的，反而有着深刻的渊源与联系。
首先发现的是第二次数学危机和第三次数学危机之间的联系。
魏尔斯特拉斯的 “ε-δ”语言的提出被视为第二次数学危机的解决。但在这个过程中数学家们其实是绕过了对“无穷小量”的回答，采用语言上的收缩战略回避了一个关乎数学本体论的问题。
ε-δ 做的事：把“无穷小是什么（本体论）”替换成“任取 ε>0，存在 δ（服务承诺）”——前台不再回答“无穷小本人住不住店”，但任何客人永远有房。
这个方案处决了实体，保全下运算，主动用操作安全换掉存在论追问，从而让微积分可以继续算下去。
但这只是推迟了问题，而没有解决问题。“无穷是什么，能不能比较” 这个被当时数学家绕过去的问题，多年后，被康托尔再次引爆。
康托尔的“对角线法”区分了自然数集的无穷和实数的无穷，实数那连续而绵密的无穷超出了自然数那离散的无穷的把握，无穷的比较在这一刻正式登上数学的舞台。数学家们再一次争论起数学的本质与规范。
这两次数学危机并列在一起，我们能看到一条明显的草蛇灰线——对无穷的本质的追问。
数学的理性在面对“无穷”陷入了不一致与矛盾。
2.其次是第一次数学危机和第三次数学危机的联系。
这横跨两千多年的两次危机为什么能联系起来？因为“对角线”，听起来可能很随意，但展示如下：

   
    
  
   
    
  
   
    
  

它们都源于数的离散性和连续性的关系没有的到良好的处理，都享有相似的"对角线"结构，都源于潜无穷和真无穷之间的矛盾张力。这也是标题离散与连续的由来。
离散原子的对角线上长出不可通约的实体。 
第一次数学危机时，人们用几何的方式得到了√2：边长为1的正方形，其“对角线”长度根据勾股定理解三角形可知为√2，但√2不是任何一个整数的比值，它落到了整数之间的“虚空”之中。
复数和复平面的诞生为我们提供了重新理解千年前这一数学过程的方式。
边长为1的正方形，恰可视为 单位一 以原点为心，旋转90°得到的 正交单位——虚数单位 i 
而 √2 = |1+i|，两个正交单位组合后的模长，即“关系测度”。 
边长为 1 的正方形。一条水平的单位边；一条竖直的单位边（代数上，向上转过 90° 的那个单位记作 i）。
它们张开顶点 1+i，从原点射向 1+i 的那根线就是对角线
长度 √2 = |1+i|。 
我们再来看康托尔的“对角线法"是如何比较自然数集和实数集的：
通过横列的自然数来数实数的位数，再通过纵列的自然数来数实数的个数。每一行一个实数，每一列一个数位。行号与列号两套编号全是自然数，这张表本身就是离散性的总动员（“可数”：能与自然数一一对应）。
反证法先假设：全体实数已尽数入表。
然后沿对角线走一道：第 1 行第 1 位改一字、第 2 行第 2 位改一字……第 n 行第 n 位改一字。得到的新实数与每一行都不同：表格亲手生产出自己的逃逸者。假设被推翻。
这两个离散的自然数的对角线上，诞生了无法被放入这张矩形表格的实数，它与这张表上的每一个实数都不一样，且没有被这张表收录。
康托尔的对角线法和两千年前被发现的√2，两者都是：从离散构造的内部，沿一条斜线，逼出它装不下的东西。 
1+i 由两个最规矩的离散单位搭成，√2 只是它们的关系；
康托尔的逃逸实数是逐位、离散、可写地构造出来的——离散的操作本身，成了揭示“离散列不尽”的工具。 
尾声·我到底想说什么
在经历了这三场探索后，数的世界在我这里有了一个样貌、一个核心的矛盾。
如果让我为数学的本体论世界找个模型的话，最相近的莫过“原子论” 
原子在这里就是数轴上的单位节点，例如单位1和整数（或者可以用整数比值表示的有理数）。
而实数就像是原子之间的虚空。
 这些原子是离散的，原子之间的虚空却又是连续绵密的。 
一个矛盾：离散性和连续性
矛盾在这里不是错误，而是恰恰证明了两种性质之间的依赖与转变。
离散的单位量在对角线上张裂出无法被离散性完全把握的实数。 
我还没有明确找到绵密的连续性是如何转化为鲜明的离散性的，但可能在单位一诞生的那个结构过程里有，只不过我还没注意到。
连续性对于离散性，就像虚空对于原子一样，也像无穷对于有限一样。
或许正是这两者间的张力在推动着数的世界纷繁复杂，精彩异常。

尾注：

①在复平面上的那一个单位中发生的事情远远不止对角线那么简单——单位一旋转到 i 画出的弧线让这一步操作与圆和π联系起来，自然对数 e 的由来也带着自然数的离散与实数的连续性之间的深刻联系。数学的一大美妙之处不就是探索这些有生命的数之间的关联与奥秘吗？
②我作为一个数学的门外汉能研究到的深度有限，期待更多专业人士能揭示更多细节。 想说的太多太多，我现在甚至有点不知道怎么组织语言了。 
③感谢你看到这里！❤
作者：碧雨青潭  助手：苏晓翠