上一次读书笔记对GEB这本奇书做了一个简单的启始,在此之后,阅读便成为了一个不断在荆棘中攀援的过程。由于涉及内容过多,因此在这里需要将笔记逐步梳理出来,也欢迎机核的各位在讨论区交流。
侯世达在书中描述关于“哥德尔不完备性定理”的时候,他说首先需要整理一下数学逻辑发展史,而通过这段历史才更加能够体会到“哥德尔不完备性定理”的风采。那么这里也尝试对数学的历史进程做一个高度浓缩的概括,同时也贯彻之前关于“怪圈”的主题。
“数学研究现实世界”,西方数学的起源自然是希腊的贤哲时代,相对来说中国数学史的发展要比西方平缓并且慢一些。(当然这只是表面上来说,实际上对于东西方来说古人所达到的高度有时候甚至是后人都难以企及的,这一点来说能够举出很多特例,这里就不详细描述了。)
总的来说,数学确实是先人们对于世界现实的研究和理解,大量的定义和公理,还有很多逻辑体系的建立就是在那个时代建立起来的。希腊先哲时代,欧几里得几何学还有毕达哥拉斯学派对于数学认知和人类认识的进步所起到的作用有目共睹。然而既然是历史,恐怕就逃不脱“战争”的阴影。即使这是一种抽象的战争(也是流血的战争,因为实际上确实有人因此而丧命,这点来说毫不夸张。)
那么说到数学史上的”战争“,自然要提到“三次数学危机”。如果把这比作战争,三次数学危机是最有代表性的三次“世界规模”的大战。危机到什么程度?危机达到了足以推翻人类对于已知一切的认识,甚至动摇人类文明的根基。(这并不算危言耸听,想象一下人类最基本的逻辑概念一旦产生无法忽视的影响和动摇的时候,那将会让我们的理性陷入什么样的境地。)
数学是对逻辑和现实的研究,它的“危机”就来自于逻辑悖论。
第一次数学危机发生在希腊先哲时代,当时毕达哥拉斯学派认为万物都可以被数学规范化,然而一位属于毕达哥拉斯学派的希帕索斯却发现一个问题:边长为1的正方形的对角线长度不能用整数或分数来表达。也就是说他发现了“无理数”,所谓“无理”既“不可理解”。这里要想弄明白这个概念就必须说一下什么是“有理数”。在希腊文当中“有理数”意指:成比例的数,也就是说任何可以被表达为两个整数比的数都被定义为有理数,包括整数和分数。那么“无理数”的意义就与之相对,不能以两个整数比来表达的数就被叫做“无理数”。“无理数”如果被写出来,它的小数点后面的数字是有无限多个并且不会循环,即无限不循环小数。
当时毕达哥拉斯相信任意数均可用整数和分数表示,而希帕索斯以几何方法证明“根号2”无法用整数和分数表示。于是毕达哥拉斯学派对这个新发现的“怪数”保密,可希帕索斯则无意中泄露了这个发现,于是被毕达哥拉斯学派的人扔进大海淹死了(希帕索斯被淹死是多个传说中一个,另还有被众神(毕达哥拉斯学派信仰的数字之神)判处淹死,开除学派等说法)——(这里就已经闹出人命了。)
对于今天的我们来说,“无理数”的认识至少已经是很基本的了,在课本上肯定都有。然而在那个时代可以想象对于当时人们的信仰以及对世界的认识有多么巨大的冲击。而实际上一直到今天,数学界对于“无理数”的研究依然不完全,还存在着一些无法被证明的数。那么对于当时的希腊哲人们来说这代表着什么呢?“理性之光”的一次暗淡,当时的数学对于“有序”地认识让他们相信一切按照已知的内容都可以推导出来,而结果他们得到了“根号2”.这个存在直接否定了他们先前辛苦建立起来的对于这个世界的认识以及文明的基石:“任何量,在任何精确度的范围内都可以表示成有理数?”结果这个悖论就是数学的精确性证明了数学有不精确的部分。
第一次数学危机的结果是,无理数的发现让人们对于数学的认识更进一步,他们不得不把“无理数”纳入研究范畴之内,重新改变自己已知的界限。
同时在那个时代的希腊,发生的数学危机并不仅仅只有“无理数”一个。其他的数学危机在当时也已经有了端倪,甚至有些的影响力至今依旧巨大——比如欧几里得几何学。
在古希腊时代人们就已经知道逻辑推理必然是要合乎一定的规范的过程,至少在认知的范围内有一部分是受固定的规律支配的。在此基础之上,更进一步的,因为当时人们面对着的这个世界是如此巨大,推理又是一件及其耗费精力的事情。那么如果能够发现万事万物背后的规范,找到“足够规模”的固定规律,那么逻辑推理是否就可以自发地进行了呢?侯世达称此为:“将推理的过程加以机械化”。
欧几里得的几何学整理以及亚里士多德的三段论规范化都是这种努力的代表。然而每当人们对此进行尝试迈进的时候,“敌对”的力量随之而来。这个“不可证”的问题直接让人们对几何学的认识停滞了相当长的一段时间。一直到十九世纪之前,数学界对于几何学的发展都是以欧几里得几何学作为基础的,然而实际上在这个看似“完备”的体系当中却存在着一个巨大的问题。
《几何原本》一共有五大公设成为欧洲数学的基础,然而在《几何原本》这原本严谨无比的体系中依然出现了一些漏洞,首先是第五公设也就是平行公设明显要比前四个复杂很多——“如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角和,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角和的一侧相交。”
同时可以不依靠第五公设而推出前28个几何学命题。因此,一些数学家提出一些问题:第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对?第五公设到底能不能证明?
这个疑问直接动摇了欧几里得以来欧洲数学的基础,差不多两千年间被认为是严密的逻辑系统运算收到了严重的冲击。
十九世纪时,几乎是同时的,有数名数学家发现了非欧几何的问题,俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家鲍耶·雅诺什和德国数学家高斯。(没错就是高斯定律那个高斯,当时高斯虽然发现第五公设不能证明,并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害,不敢公开发表自己的研究成果,只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法,也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。)
由于第五公设的问题,直接动摇了两千年来人们对于数学乃至于从数学延伸出来的关于逻辑推理的认知。最后不得不把非欧几何纳入几何学范畴内(也是不得不打破已知的边界,把新发现纳入进来的解决方法),所以目前来说存在三种几何:1坚持第五公设,引出欧几里得几何。2 以“可以引最少两条平行线”为新公设,引出罗氏几何(双曲几何)。 3以“一条平行线也不能引”为新公设,引出黎曼几何(椭圆几何)。
欧几里得几何学的麻烦是数学界发展的必然结果,虽然当中有整整两千年没有激发过这个冲突。而第二次数学危机的问题则一直从古希腊延续到二十世纪,并且最终在十六世纪达到顶点引发了巨大的数学界冲击——“贝克莱悖论”也可以说是第二次数学危机。
这场数学界针对“悖论”的战争不论是规模还是时间跨度都远远大于“无理数的战役”。这场“悖论战争”爆发于十六世纪,两位最重量级的数学家牛顿和莱布尼茨都被牵扯其中。整场“第二次数学危机”至今余波犹在,一切的冲突都围绕于一个数学概念:“无穷小量”的定义。
这个问题最早依然可以追溯到古希腊时期,当时的希腊的先哲们关于“存在运动”概念的探讨非常的激烈。其中哲学家芝诺为了支持他的老师巴门尼德关于“存在”不动的理论,他提出了一系列的悖论,其中最广为人知的悖论是“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”,这些悖论可以算是后来微积分诞生的基础。
实际上当时来说这个悖论不过是一个兴致所至的小玩笑,当时巴门尼德嘲笑毕达哥拉斯关于数学的概念,然后又和芝诺产生了分歧,接着芝诺同样的用悖论反击(先哲就是先哲,这兴致所至玩乐的水平真的是高不可及23333)。
阿基里斯追乌龟的悖论是:乌龟先跑,阿基里斯在后跑,要追上乌龟就要先到达乌龟所在的位置,而乌龟一直往前跑,所以阿基里斯永远追不上乌龟。
飞矢不动悖论是:飞箭在运动过程中,在任何一个瞬间的时间点上,必定是停在一个位置上的,而每一个瞬间它都静止在一个位置上不动,所以飞箭其实是不处于运动状态的(因为始终是静止状态)。
这两个问题除了当时的哲学家们涉及到关于“运动概念”的探讨,也涉及到了“时空无限分割”的问题,那么归结起来,问题的核心就在于“无穷小量”的问题。这个问题没有办法用实际的度量来测,所以只能用比喻和类比的方法来解。
对于“无穷小量”这个问题其实从一开始就存在了,而一直到现在,这个问题似乎都没有办法完全确定下来。公元前300年,欧几里得等古希腊先哲们以“穷竭法”处理这个问题(古希腊三大尺规作图问题之一,用圆规和尺化圆为方,实际上这是做不到的)。
十七世纪意大利数学家卡瓦列里用等幂等积定理进一步推进了“无穷小量”的办法(这个方法其实最早是中国的古代数学家刘徽提出的之后又被祖冲之和他的儿子提出。)虽然当时卡瓦列里没有对于这条定律严谨的证明,但是这个定理引发了以面积计算体积的方法成为了积分发展的一个重要步骤。
差不多在同一时间,莱布尼茨和牛顿分别发明出了微积分,同时其他数学家对于“无穷小量”分别提出各种定义和推理办法并且都取得了一定的成功。然而实际上在十九世纪之前并没有任何形式上定义好的数学概念是直接把”无穷小量“当作正常的数来处理,虽然当时微积分的奠基人牛顿、莱布尼茨、欧拉等很多人都有收获。
当时人们看起来已经打通了很多推理逻辑的限制,可以让推理的”机械化“推进的时候,”悖论“又一次跳了出来开始企图剥夺众人努力得来的成果。(数学推理的机械化努力的说法来自书中侯世达的说法,这个会在之后总结一下。)
实际上可以看得出来定义暧昧不明的隐患一直就隐藏在数学逻辑系统之下,并且在日积月累,等到系统成型的那一刻爆发出来,冲击所有构建出来的体系。在1734年,英国大主教贝克莱写文攻击牛顿的流数法解决无穷小的问题:”是依靠双重错误得到了虽然科学却不是正确的结果“。于是因为”无穷小量“的定义不明导致的悖论开始冲击整个数学界。实际上贝克莱本身攻击牛顿并不是因为他在数学上有所追求和探索,而是因为他身为大主教的身份,对于当时数学科学发展影响到宗教利益的反应。(但是不可否认的是贝克莱能提出这个问题,说明他确实是一个有见地的人)。
简而言之第二次数学危机爆发的起因源自于宗教和科学的冲突,而引爆点则是”贝克莱悖论“——简而言之就是”无穷小量是不是零“的问题。这个问题在于不论是或者不是,都会得出一个悖论:”如果无穷小量等于零,那么就等于没有,然而无穷小量也依然有量。而反之,如果无穷小量不等于零,那就说明无穷小量之外还有更小的量,那它就不是无穷量。“
整个混乱一直持续了两个多世纪,在当时莱布尼茨等数学大家对此做出了很多努力,然而他们却没有办法更进一步的合理化这个”悖论“的问题。到了十九世纪中叶,这个问题才开始有所起色,有人开始意识到必须严格限制一些问题,并且规范化微积分的推理。比如波尔查诺找到了连续性的正确定义、阿贝尔指出要限制住级数展开和求和、柯西抓住极限的概念,提出无穷量应该定义为”变量“而不是”定量“……一直到十九世纪后半叶,人们终于建立起了实数理论,在此基础之上建立起极限论,从而使得数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
整场”战役“的源头可以追溯到公元前三百多年,在十六世纪开始爆发,一直持续到十九世纪后半叶才初步的平息下来,然而还有一些问题遗留,一直到二十一世纪,已经解决了一部分遗留问题,然而数学界对此始终没有达成共识,有人认为这个问题在二十世纪前的数学研究体制下无法被彻底解决。
4、巅峰一役,”罗素悖论“引爆集合理论:第三次数学危机
就在十九世纪后半叶,由第二次数学危机引发的种种问题开始得到初步解决的时候, 数学界洋溢在一片祥和当中。因为人们沉浸在一片前所未有的积极性当中,有史以来数学从来没有像现在这样具有着正确性、系统性、完整性。当时有人甚至说:“后来的人们不会再有更高的成就了,他们最多只不过补充一些前人的疏漏。”
第二次数学危机的解决带来了数学前所未有的进步,由于”无穷小量“的问题引发的关于极限概念的问题,到十九世纪晚期,格奥尔格·康托尔首次建立了集合论,集合论可以让人们严谨的表示极限的概念,并且很快集合论迅速延伸到了数学的各个领域。由于之前微积分的问题使得人们意识到了数学基础当中存在着的不明确的不严谨的部分很有可能会动摇整个上层建筑(并不仅仅只是数学,十九世纪的时候,数学也已经和其他很多领域密切相关,延展到实际运用实验等等来说,一旦数学出现了基础问题,那么足可以让整个人类文明遭到巨大冲击)。
康托尔的集合论成为了数学基础的一个更牢固的地基和堡垒,随后戴德金及皮亚诺对算术还有实数理论进行了公理化并且进行推动。同时人们把逻辑数学化,促使了数理逻辑的诞生。
而这场空前繁荣的背后,同样史无前例的危机也正在酝酿当中。在集合论深入到数学的各个分支,并且成为数学的基础运用的时候,问题也出现了——”罗素悖论“。
实际上最早是在1897年,福尔蒂最早揭示了集合论当中的第一个悖论,随后集合论的创始人康托尔也发现了一个类似的悖论。1902年,罗素又发现了一个悖论。这个悖论最终指向了集合论的核心定义问题——集合自身能否被包括在集合当中?如果不能,那么它应当被归入自身(那就不是集合,而是集合的元素)。如果能,那么就违反了集合自身的定义。
数学的基础在于什么?之所以引发极大规模冲击的第三次数学危机真正涉及到的是什么问题?数学的真正基础在于寻求一个数学哲学的核心命题:在什么终极基础上命题可以被称为“真”?已知的一切推理逻辑,数学公式都是建立在一个基础命题之上的,从欧几里得的几何学五大公设一直到现在数学的基础公理化集合论和形式逻辑。这个作为数学之本的“真命题”几度易手,悖论不断打破现有的数学基础“真命题”从而动摇到人类所有的认知。
格奥尔格·康托尔创立了现代集合论帮助整个微积分理论体系建立起了基础,这也是解决了第二次数学危机的一场巨大的成功。然而他的朴素集合论依然存在着一些隐患在其中,在朴素集合论中,集合是指由许多“物件”组成,有明确定义的搜集。这些“物件”称为集合的元素或是成员。它们可以是数字、人、其他组合等,集合的元素可以是无限多个。集合在数学中的重要性在于,它可以构建多种数学对象,包括关系、数、函数等等。朴素集合论中的“朴素”意思是指一个非形式化的理论,也就是用自然语言来描述集合以及集合的运算。(这里其实可以牵扯到语言学方面的内容,比如对于语法和语义的运用和判定等等。)
那么隐患也就在这里开始显现出来了,朴素集合论当中的问题在于它允许任何一个性质都可以用来构建一个集合,不受任何限制,结果就导致了“罗素悖论”这样的问题。构建集合的性质和集合自身的存在产生了冲突,即“包不包括自身的集合”?
自身存在的矛盾性直接导致了所有基础——也就是集合的合理性受到了质疑,于是作为数学通用语言的集合成为了引发剧烈震荡的源头,所有问题都陷入了矛盾之中。
想象一下,假设人类的语言本身的存在实际上是词不达意的,从而进一步推导出,语言交流是没有意义的。得出这样的结果将会导致整个人类社会结构的崩塌,以及一切文明的毁灭,因为不论是历史文献记录、科学推演、社交对话……这些的基础都是语言。这可能是一个不太恰当的比喻,但是依此类推出来的结果确实相当的可怕。
第三次数学危机的影响依然在持续着,很多问题的发现和解决也延续至今,它距离我们其实很近。
数学作为科学的基础,很多领域的研究推进都是建立在其基础之上的。而作为数学的基础,那自然是一切领域基础中的基础,现在人们把它叫做“元数学”或者也叫“元逻辑”——逻辑和数学是分不开的。
好了光是上面一句话就已经引发了悖论式的问题了,到底数学和逻辑是什么关系?数学包含了逻辑学?还是逻辑学包含了数学?即使是深入到数学最基本的深处的集合论概念当中都能那么轻易都有悖论冒出来的话,那么数学自诞生以来至今的一切岂不是都值得怀疑?那么如何撇清数学和逻辑学之间的关系?很难说,至今为止这个问题都没有搞清楚过。
依照侯世达所言:“由于数学推理使用的都是’自然语言‘(就是通常由来交流的语言,俗称’人话‘),因此总是有许多可能的歧义,可以唤起不同的意向等等。看起来,建立一套统一的记号是合理甚至是重要的。用这种记号可以做一切数学方面的工作,通过使用这种记号,可以帮助任何两个数学家解决提出的某个证明是否有效这样的争论。这样,就需要一套完整的关于普遍公认的人类推理模式的法典,至少用于数学推理时是这样。”
在书中侯世达提到了罗素和他的老师怀特海合著的《数学原理》,同时还提到了德国数学家大卫·希尔伯特在1920年代提出的一个数学计划。这两项计划可以看作是数学界对于“悖论”所发起的一场史诗级规模的“大远征”,《数学原理》企图表述所有数学真理在一组数学逻辑内的公理和规则下都是可以证明的。而希尔伯特的计划则是关于公理系统相容性的演进证明的一项计划,主要目标是为全部的数学提供一个安全的理论基础。
没有任何人会怀疑这两项工作的艰难性,甚至也包括罗素、希尔伯特他们自己。他们在有生之年里获得了有限的,一定范围内的成功。(然而依旧没有能够摆脱“怪圈”的困扰,有点类似于用自己的推理方式来证明自己的推理方式是正确的……)
结果在1931年,哥德尔提出了他著名的哥德尔不完备性定理,他的不完备性定理直接让《数学原理》的伟大目标流产,同时希尔伯特计划也在此之下宣告破产。没有一个系统可以产生所有的数论真理,除非这个系统是一个不一致的系统。
实际上哥德尔不完备性定理并没有完全毁掉《数学原理》,在一定程度和范围内,它依然是有效的,同时也为之后的理论提供了基础。然而这两场宏大的数学“大远征”依然以失败而告终,到今天为止,问题依然处于胶着状态没有解决。今天依然不断的有新理论出来加固补完之前的数学体系,但是问题依旧,“悖论”依然在不停的袭来。
其实我们可能已经在面对问题的最本质了,然而最本质的问题恰恰也是最不容易引起注意的问题。悖论来自哪里?回到之前所说的“怪圈“上面来看,音乐体系的构建本身就证明了它是一个循环不停的”怪圈“,这也是为什么有限的音符可以创造出无限的音乐作品。正因为大小不同的循环让我们能够受到新的刺激。
音乐和美术对于”怪圈“的表现相对来说还要直观许多,这也可能是为什么侯世达在书写这本书的时候必须带上巴赫和艾舍尔来一同帮助阐释清楚哥德尔不完备性定律的问题。
这里需要重新回到音乐上来了,实际上在侯世达之后提到的关于形式系统的描述当中,音乐可以更加直观并且精确的表现出这种概念。这里就必须了解一下复调音乐的两大体裁——赋格和卡农。
赋格——在一个主题上构成的多声部(至少二声部)对位作品,主题可长可短(但实际上不太有超过八个小节的长旋律)。首先是一个声部的主题开始(经常会在乐曲中再现),随后紧接着在上下音程四五度的范围内,第二声部的主题第二次进入。第二次进入的这个主题叫做“答题”,为了保持乐曲本身的调性或者便于进行,答题相较于主题除了音程不同还会有一些略微的改变(比如有一些升降音的变化)。随后主题第三次进入,第三次进入的主题与第一次相同,但是可以高八度或者低八度(之前那篇笔记里就说过,音乐当中的音到音程第八度(不论上下)时,它都回到了自身。)第三次主题进入的时候往往相较于之前第一第二次进入有所推迟,多出的一个或几个小节由一个小结尾填充——音乐当中的结尾部分一般都是在主音或者属音位置(属音就是主音上的第五度音程)。这样一来就自然地可以和第三次进入的主题接上了。
在答题部分进入的时候,主题和它的对位声部依然在进行着,如果在赋格的其余部分仍然保持这一对位声部的话,那么这个对位声部就叫做“对题”。对题往往会和主题形成二重对位(因为一般当第三次主题进入的时候,答题和对题分别都在进行,于是形成了三个声部同时进行,那么对位法就必须即让答题和主题对上,又要让对题和主题还有答题也都对上,这就是二重对位。)
一般来说主题进入的次数对应赋格的声部数,比如说三声部赋格,主题就会进入三次。但有的时候主题也可以多一次进入,这样的进入被叫做“多于进入”。当所有的声部都进入主题或者答题的时候,赋格的呈示部就告结束。除了呈示部以外,赋格曲的其他部分由主题的多次在进入组成,其中几次是在关系调当中(比如说主题是在C大调上的话,这个在进入的部分可能是在a小调上。二者是大小关系调。)
如果用稍微形象一点的方法来表示,那么赋格的结构如下:
这只是一个例子,其中的变化还有很多,比如声部之间的转接,旋律的上升下降的变化等等。这些表现方式和这种结构的出现归结于产生赋格的作曲技巧——对位法。
历史上的对位法最早的时候其历程有点类似于数学当中形式系统的发现,首先就是确立一些规则,比如音的时值,音程关系(早些年由于教会掌握音乐,所以他们只允许和谐音程,而不和谐音程不被允许出现在当时的音乐当中。)对位的原意即是指:“音符对音符”。
最早在9世纪末发现的分声部乐曲当中,既没有节奏独立性,也没有旋律独立性。也就是说一个声部当中的音由另一声部的单音伴奏(这玩意听起来绝对锻炼耐心的……),旋律线或者全部平行或者大部分平行(极其的单调)。随后到了中世纪,逐渐发展了节奏独立性和旋律独立性。包括教堂调性的发现和确立,一直到13世纪,对为艺术已经完全成熟(比如当时宗教的经文歌)。14世纪节奏上进一步的自由(最早的节奏被要求融入神学三位一体的概念,后来这个被慢慢放弃了)。15世纪模仿的运用越来越多——卡农差不多是这个时候成形的。一直到17实际逐渐形成了赋格。
对位法要求把不同声部的旋律上下对位,两个或两个以上的独立声部在和谐的织体中结合。各声部在旋律和节奏上都有独立性,这非常重要。两条或者两条以上的旋律线结合形成一系列相互关联的和弦。这直接产生了之后作曲当中另一个至关重要的部分——和声。可以说和声学来自于对位法,巴洛克到古典音乐之间最大的变化就是复调音乐(对位法)开始让位于主调音乐(和声)。
另一种对位法产生的音乐体裁,卡农,也许相对来说在卡农当中可以找到更多形式系统的对应内容。卡农在希腊语当中有“规则”之意。这种复调音乐,其中一个声部由另外一个或几个声部进行模仿,同一旋律依次进入各个声部当中上下交叠进行。
根据不同的模仿形式,卡农有几种分类,严格而精确的模仿原旋律的卡农被叫做“精确卡农”;在模仿的时候出现增减记号或者改变了音程关系的话,则称作“自由卡农”。这类作品一般都会以一个短小的结尾作为结束,尾声段落不再进行模仿从而完成一个完满地结束。如果在结尾部分回到了旋律的开始处,则被叫做“无终”卡农(之前侯世达引用的巴赫的那个例子)。
卡农在写作的时候有一些难题需要解决,有点像是数学的形式系统那样,给出一个基本旋律和一些模仿规则,从而推演出一首卡农作品。有些作曲家(尤其是15世纪时候)让卡农带上了一点神秘色彩,他们只写基本旋律,随后给出一些谜语一样的指示,让别人先解开谜题得到指示,从而创作出一首卡农来。
在卡农的创作当中由于不同的模仿形式,还可以分类出一些类别,比如:1转位或反向卡农——模仿的声部和原旋律完全相同但是上下颠倒。2增值卡农——模仿声部扩大了原旋律的时值。3减值卡农——模仿声部缩小了原旋律的时值。4前面三种形式任意两种结合,比如增值反向卡农。5逆行卡农——模仿声部从结尾回溯到开始。6逆行转位卡农——模仿声部从结尾回溯到开始并且上下倒置。
上述六种形式的卡农当中,可以把两种或者多种卡农结合起来。
结合对位法规则和卡农的形式表现,再对照之后书中提到的WU谜题的问题,这个形式系统的概念看起来就比较直观一些了。乐曲创作当中也遵循着类似形式系统当中:公理、定理、规则的情况,。
音乐当中的公理就是确定出不同音高音色的关系,定理则类似于音程关系(对位法那个时代非常注重和谐音程的问题),规则则类似于找寻出来的各种不同的音乐调律(七个不同音高的前后排列。)。定理本身是被严谨证明为正确的陈述语句,但它不是被证明出来的,而是生产出来的(也就是说先有陈述,再有证明)。公理相对定理来说则是无偿提供的。规则是在生成形式系统的过程当中生成的,一般要形成一个系统(不论繁简)肯定会有一个基本的“生成规则”。这个规则用来帮助推导出“定理”。
菩提本无树,明镜亦非台,本来无一物,何处惹尘埃。——by:六祖慧能
整部《集异壁之大成》的书中,对话的篇幅有一半。每一篇对话都以巴赫的音乐作为参照,并且在对话的内容当中引出后面一篇论述的主题。主要对话的两位是芝诺悖论当中的两位主角,飞毛腿阿基里斯和那个跟他赛跑的乌龟,当然并不仅仅只有他们两个,后面的对话当中还有其他角色陆续地参与进来——比如芝诺还有螃蟹。
第一篇对话的题目被叫做《三部创意曲》,这个出自巴赫的音乐作品集。巴赫的创意曲集有二部创意曲和三部创意曲。这个三部是指三声部,巴赫以三重对位创作的创意曲曲集。三个声部可以按照各种不同的次序进行排列,而且任何一个声部都可以成为其他两个声部的良好低音,这样的三个声部就构成了三重对位。
一开始阿基里斯在和乌龟一块在起跑线上面聊天,他们在聊跑道另一头的一面旗子。那是一面芝诺的旗子,那面旗子上面有一个环状的狭缝。阿基里斯说这个环状的狭缝让他联想到了艾舍尔的莫比乌斯带,而乌龟说环状的狭缝呈现阿拉伯数字“零”,芝诺最喜欢这个数字。但是他们那个时代零的概念是没有的,要在一千年后才会被发明,所以阿基里斯给了乌龟一个结论说那面旗子是不可能的(不存在于他们那个时代)。
乌龟表示虽然那面旗子的存在是不可能的(零的概念),但是它有美感,这和它的可能性未必有关。然后乌龟又说自己似乎没有考虑过美的问题(虽然乌龟表示这是一个重大的问题)。
阿基里斯没有接下去,却问到了他们在此的目的和意义,乌龟说没有多想,他们在此仅仅是因为一个假设的赛跑(阿基里斯追乌龟那个悖论)。然后他们两个就聊到了芝诺悖论上面来,芝诺试图证明运动这个概念在实质上并不存在。
这里阿基里斯说芝诺并没有说他是哲学家,而是说禅宗芝诺。接着阿基里斯从这个叫法延伸到了一个禅宗的问题,这个问题实际上应该是出自禅宗六祖慧能的《六祖坛经》中的一段故事:“时有风吹幡动。一僧曰风动,一僧曰幡动。议论不已。惠能进曰:‘非风动,非幡动,仁者心动。”而阿基里斯在这里说到这个故事,要联系到之前乌龟所说,芝诺之所以用他们两个地赛跑来证明运动不可能是因为,芝诺相信只是因为大脑当中有运动这个概念,才会觉得存在“运动”这个概念,在实质上是不存在“运动”这个概念的。
从词义上面来看,芝诺的”运动不存“在和六祖慧能的”幡不动、风不动,唯心动“似乎意思相近。阿基里斯说自己因为芝诺才联想到了这个。(这里引出禅宗的概念,和后面提到的形式系统还有一些概念有关)。当然乌龟随后吐槽阿基里斯,芝诺根本不是禅宗,只是个希腊哲学家。随后一阵风刮过,旗子被吹起来了,于是这两位就真的绕着哪个在动的问题争论起来了。
就在乌龟和阿基里斯讨论的时候,芝诺也加入了对话。有趣的是,在这里侯世达似乎尝试把芝诺和六祖慧能混淆到一起去,(芝诺的命题,和慧能的禅语)。实际上后面的讨论都是围绕着这个芝诺悖论的问题在反复讨论,之后对话结束于乌龟和阿基里斯的起跑。
从最表面来看,这篇对话的核心在于芝诺的悖论和慧能的禅语。两者的语句意思似乎同样指向“运动”概念不存在。但是又有点似是而非,因为慧能所说的唯心动的意思,和芝诺的理念应该不是一回事。这里先不急着讨论出结果,因为这种问题上太过冒进反而会误入歧途。
构建出一个形式系统需要三个元素——公理、定理、规则。这段内容紧随前面三部创意曲的对话之后,侯世达给出了一个关于WJU的形式系统,通过给出字符串,以及四条推理规则构建了一个运算系统。这一个推导游戏实际上是一个引子,重要的部分在于,人脑运算这个系统和单纯的机器运算这个系统会出现什么样的结果。简单来说,如果计算机运行,它会完全的受限制于系统之内,只能凭借已有的公理和推理规则进行运算。而如果是人脑进行运算,一开始会先相当盲目的推出一些结果,然后根据得到的结果,会意识到一些共通的性质在背后,这里就是人类智能的作用,我们会自发地归纳总结出一些模式和规律。而计算机做不到,计算机能够做的仅仅是不停的进行推算和筛选,一直到找到符合设定的结果或者无限的算下去。
进一步来说,如果给予一个输出要求在前面,比如在WJU系统当中找到一个特定的字符串(根据规则推算实际上可能是算不出来的)。计算机会无限的算下去,因为这就是它运行的基本。而人类则不然,很快就会意识到自己是在做无用功,从而罢手不干。
那这是为什么呢?书中提到这是一种洞察力,人类会进行观察,观察给于人类对当前所做的工作的一种洞察力,及其程序则没有。但这种情况的区别并不是绝对的,人类可以放弃观察从而继续做下去,或者机器可以得到预设,从而符合罢手的条件。
这里正是人工智能的一个最大的悖论问题,机器是不灵活的,而心智是灵活的。这点确定以后,人工智能就成了一个类似于悖论一样的问题了。因为我们尝试要用最不灵活地东西去生成一个最灵活的东西。
能够跳出形式系统这一行为可以算作是智能的表现之一,侯世达在书里提到,其实智能的特点之一就是它经常可以跳出自己自己目前的工作,(其实也可以不跳,但是智能是可以自由选择的)。
回溯之前的长篇大论,包括考虑一些哥德尔不完备性定理。任何一个存在的形式系统都有可能出现一个自身系统无法解决的问题,而智能的最大特性就在这里了,智能会跳出目前的形式系统,通过跳出系统从而解决系统当中出现的问题(有没有人联想到黑客帝国里的尼奥?)
重新把目光回到WJU系统上面来,根据之前的规则和要求,我们要从WJ开始根据四个推理规则得到一个WU的结果作为结束。书里之后给出了答案,并且分享了三个推理方式。侯世达把它们叫做W方式、J方式和U方式。直白地说,J方式就是像机器一样的死算,W方式则是像人脑思考一样的,尝试逆推,找寻规律从而找到自己的结果。而第三种方式U方式,侯世达称之为禅宗的方式,这三种方式被翻译成中文分别是:机(J)方式、惟(W)方式和无(U)方式。(所以说不得不说这本的汉译确实令人惊叹。)
那么说到这个禅宗的方式,再回顾之前那一段,关于芝诺悖论和慧能禅语的对比,也许能看出一些不同出来了。
每一篇笔记都像是一个阶段性的总结,当然这个阶段性不是按照标题分的,读到哪里觉得需要总结一下就停下来。当然这个数量出乎意料的非常多,第二篇笔记紧接第一篇笔记,内容也不过才涵盖了原书的二十几页(不知道之后会不会每过二十几页来一篇笔记……)
读这本书真的是得到了很有意思的阅读体验,有时候旁边还需要别的参考书目,或者却网上确认一些资料。虽然做了不少功课但依然不敢保证自己没有疏漏,如果有的话还请各位朋友在评论当中指出,感激不尽。
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