《集异璧之大成》阅读笔记及杂谈（十八）

本文系用户投稿，不代表机核网观点
一：前言
GEB这本书的读书笔记其实在网上是有不少的，如果去搜搜看的话会发现，很多人都有在读这本书而且还很认真的做了详细的笔记。以笔者目前看到过的笔记从几万字到十几万字的篇幅都有，而且大多数内容都是高度概括的——主要就是围绕书名中的主要三个人物：哥德尔、艾舍尔、巴赫的内容来说的。大多数人看的内容也一样，觉得这本书的重点在于形式上的跨领域比较，所以论述内容大多数也是围绕这个主题来展开，讲讲自己的看法的。
只不过有一些评判略有偏颇，笔者打算在这里谈一谈自己的看法。目前笔者看到很多对于GEB的评述都提到了：“这本书的主题论述太多的引用旁述和各种语言游戏而导致没有主题。”或者：“作者过于在乎形式上的表现手法而内容上的描述被这个打折扣了。”——简而言之就是：内容太多听不懂，几句话内高度概括！（虽然有开玩笑的语气，但很多就是这样的看法，包括那些做笔记的大多数也是冲着精简这本书的内容这么来的。）
笔者个人以为，这恰恰不是一个好的方法，虽然精简概况确实可以提高知识吸收的效率……笔者在这里可能也没有资格这么下论断——毕竟笔者自己的笔记也是干类似的事情。但是说实话，对于GEB这本书所要表达的内容，以至于衍生出去很多其他可能类似的内容，这样的精简式阅读反而恰恰让人们错过了很多东西。这里并不是否定高效率的吸收知识，但是任何事情一旦过度，必然会滋生出弊端，这点是毫无疑问的——在今天过分追求效率的结果就是导致了信息接收和传播的断片化、碎片化，人们变得越来越偏面、狭隘、偏激，最后在种种矛盾中忘记了初心。
但是实际上，这就是一个没有尽头的事情，自然本身在被划分之前，内容是充足的，我们的精神世界也是一样。而当开始有了形式、规则、概念等等等等之后，划分之后的内容就是有限的，被界定的。在其中可以诞生出秩序，可以产生出规律。然而我们的心智终究还是自然的产物，无法抗拒一些天生的性质——混沌、无限（这里的说法可能有点中二）。换一个简单点的说法：感性和理性之间的矛盾可能永远都无法完全调和。
而把这个话题扩大到方方面面也是一样，可能有时候我们永远意犹未尽，问题永远追溯不到根源从而就无法真正解决（没有答案的问题还是问题吗？）所以有时候我们不知不觉会回到禅宗的范围当中来，在一种顺行逆行当中反反复复，因为我们一直在“边界”游走着。这也许是为什么在GEB这样一本书当中，还会特地提到禅宗的主题。笔者相信侯世达教授肯定对此也有所感受，才会愿意特地提这样一句。而今天在国内，可能因为这样或着那样的原因，笔者往往看到对于这本书的理解都只是截取的片段——或者只专注于书名中的三者，把禅宗的内容当作迷信的一部分嗤之以鼻、又或者只看得了禅宗的部分，在唯心论的迷醉感当中荡漾，却沉醉其中忽略了现实。（就像之前有人提过：迷信是迷信，宗教是宗教，科学是科学。但是人的愚昧却是一样的，于是在今天——迷信是迷信、宗教也成了迷信，乃至于科学都成了一种“霸权”的迷信。根源在于人）
以上都算是笔者在阅读过程中的一些随想吧，稍微有点点长……下面我们还是进入主题吧。

   
    
  
   
    
  
   
    
  

本章节对话内容的标题是《的确该赞美螃蟹》，标题上是戏仿了巴赫的《D调的赞美诗》，一如既往和前面的对话篇章一样，形式上对应巴赫的作品。必须反复强调的是，这并不是无意义的单纯形式上的表现技法，而是侯世达试图借此作为例子比喻他想表达的这种暗含的共性。
虽然如上所述，很多人把这个看作是单纯形式上没有意义的堆砌，这种看法可能不是没有道理，但下的结论未免有些武断。
那么从标题上来看，“螃蟹”有什么可值得赞美的呢？在这一章对话里，螃蟹展示了自己的一个特殊的能力（实际上对话里不论是乌龟、阿基里斯、食蚁兽、螃蟹等等个个都是人才……）它有一种“转译”的能力，通过把符号化的数论语句当作音乐演奏出来（螃蟹吹笛子），借此判断数论陈述的真假——判断依据估计就是演奏出来和谐的音乐就是“真”数论，反之则为“假”。
这种“转译”能力其实在之前的章节里已经有所铺垫了，不论是关于形式系统“同构”，还是DNA、RNA在遗传过程中的“转译”。在这里应该是一个差不多的意思，因为既然我们可以通过计算机对遗传分子学进行建模运算，那就说明这种“同构”、“类比”本质上就是有一定道理的——而不是单纯的被拉到一起作形式上的“类比”，很多阅读GEB的读者显然是没有考虑到这一层。这和有时候搞不清楚“致敬”、“引用”和“抄袭”的概念一样，太过庞杂的内容让很多读者自己混淆了。而书中在前面的章节里又不厌其烦地提醒了很多次“形式系统”与“现实”的混淆，这确实很容易让人上套。
实际上到了后面几个章节的内容，更多引入的是讨论，而且是牢牢地建立在之前那么多章节所讨论的“概念”的基础之上的。估计一直看下来的朋友可能也注意到了，现在的笔记当中，之前的内容开始越来越频繁地被反复提及了，那就让我们抱着之前章节的内容继续进行下去。
螃蟹这里赞美完之后，在后面的讨论主题当中，螃蟹的这种“转译”以及延伸的内容被几个历史上的真实人物所替代。这里将会涉及到：图灵、丘奇、塔斯基、拉马努金等人，他们都是在数学、计算机等诸多领域成就非凡的人物。后面的讨论将会围绕“丘奇-图灵论题”展开，并试图在不同的“层次”上对其进行讨论并且进一步延伸：机械地模拟人的思维；给一台机器输入一种程序，使其具有“美”的感受和创造力……简单来说就是把大脑思维、心理活动和计算机运算进行一个类比。而大脑行为和运算之间的联系又可以带来更多的话题：图灵停机问题（之前反复提及了）与塔斯基定理。

   
    
  
   
    
  
   
    
  

二：阿基里斯、乌龟、螃蟹三人行
在一个阳光明媚的日子里，阿基里斯和乌龟又出去郊游去了。他们在林中散步，然后打算爬山，因为听说山上有一间很好的茶馆，他们打算去那里消遣消遣。爬山的时候，阿基里斯就和乌龟聊起来了。阿基里斯和乌龟爬着山，聊着天，聊着聊着，就说起了音乐来。他们就聊到了巴赫的音乐，那么说起古典音乐，他们自然而然的就提起了螃蟹——因为螃蟹可以算是一个音乐发烧友了，家里一堆唱片和唱机，大部分唱机让乌龟给搞坏了。
乌龟给阿基里斯说起螃蟹最近的一件事，螃蟹收到了一封来自印度的邮件，署名人叫：衍奴玛拉（印度数学家拉马努金名字的颠倒，翻译原因GEB里翻译作：拉玛奴衍——音译不同）。刚说到这里，他们就看到螃蟹正好从山上下来了。于是螃蟹就加入到了乌龟和阿基里斯的聊天当中去，螃蟹就说起了衍努玛拉的来信，然后介绍起了这位神奇的数学家的故事——这位印度数学家没有受过高等的数学和教育，但意外的是他可以凭借自己的直觉就找出一堆新的数学真理，令人惊叹。关于这位数学家的故事在之后会详细说的。
螃蟹介绍了两个信里提到的这位数学家的发现（是历史上关于拉马努金数学发现的真实轶事），但这引起了阿基里斯的怀疑。阿基里斯怀疑：这种凭着直觉就得出的数学真理会是真的吗？难道不会是一个惊喜的骗局？螃蟹表示自己也有过类似的怀疑——历史上对拉马努金也有过类似的质疑——但是，螃蟹经过演算之后发现，来信中提到的数学真理都是真的。这就引出了一个问题：这位没有受过专业数学训练的人，是怎么能够得出这些真实的数学真理的？某种东方的神秘力量吗？
乌龟表示：“……我完全有把握认为，不管怎么说，衍努玛拉用他的方法能做到的事，在正统数学里都有与它完全相对应的东西。依我看，在数学研究上不会有什么方法能与我们已知的方法全然不同。”
阿基里斯说：“这倒是个有趣的观点。我看这与丘奇—图灵论题和其它一些有关的论题有些关系。”这里接着阿基里斯和乌龟的评论，开始把本章节的一些主题引用进来了。
螃蟹表示，今天难得出来散心，就不要讨论这些学术上的复杂问题了，它来给大家演奏音乐一起享受一下大自然。（但是话虽这么说，之后还是要绕回到这些复杂的问题讨论上来，书里的对话其实有一种看舞台剧表演的感觉……笑）
螃蟹打开一个盒子，从里面拿出几张乐谱来，然后照着乐谱开始吹曲子。阿基里斯朝着螃蟹的谱子看过去，结果阿基里斯看到的不是寻常的五线谱，而是符号化的数论语句（印符数论TNT系统）。阿基里斯就问螃蟹他怎么照着数论语句的符号串来演奏音乐的，结果螃蟹根本不知道。螃蟹说这首音乐是皮亚诺写的五首长笛前奏曲之一（这里是指代的皮亚诺五大算数公理，在前面提到过很多次，它也是哥德尔判定形势系统的基础之一）。
阿基里斯就搞不懂了，为什么螃蟹可以对着数论语句演奏音乐，但是螃蟹表示自己并不知道什么数论语句，在它看来这只是乐谱。螃蟹之后又演奏了一首悦耳的曲子，但阿基里斯看着谱子，觉得这还是数论语句。螃蟹是在把数论语句的符号串当作音乐来演奏，于是阿基里斯自己也写了一个符号串，螃蟹把它演奏了出来。（这段描写让笔者联想到了电脑程序自动编曲）
有意思的是，阿基里斯随后在字符串里改了一个字符，螃蟹就演奏出了截然不同的音乐。于是阿基里斯就继续写字符，然后让螃蟹演奏，而螃蟹教给了阿基里斯一些关于音乐方面的指导：
“阿基，恐怕你完全没有抓住我的那首曲子的精妙之处，你是照猫画虎。可我又怎么能指望你听上一遍就能理解呢？人们并不总能了解美的本质所在，很容易把一首曲子表面的东西错当成它的美，并且去模仿它。而美本身似乎是不可分析的，它藏在音乐的深处。
……决不要企图把太多的东西加到一支曲子里。总是有一个界限的，超过了它反而会弄巧成拙。这个例子就是如此。你这种把两条建议兼施并行的想法，并没有获得所期望的更多的美，恰好相反，却造成了一种不平衡，这下子把原来所有的妙处都弄没了。”
阿基里斯依然不能明白，为什么改了一个字符，就会产生解然不同的音乐，而且似乎这种联系是有道理的，但他不明白其中的转换规则。螃蟹却说数学和音乐里的美学是不能靠规则来衡量的。这两个看起来截然不同的领域当中，好像存在着这样的联系，这是阿基里斯通过螃蟹演奏的音乐所发现的。但这个问题讨论不出一个所以然，所以阿基里斯打算继续写字符串给螃蟹演奏。
结果阿基里斯写出来一个演奏起来莫名其妙的字符串，螃蟹表示不知所云。乌龟则从这个数论语句“转译”出来的音乐里联想到了“约翰·凯奇”。
螃蟹：“听听这种毫无意义的不和谐音调，你们俩可能觉得挺有趣的，不过我向你们保证，对于一个敏感的作曲家来说，受这种令人难以忍受的、空洞无物的不和谐音以及毫无内容的节奏的折磨，一点也不会感到愉快。阿基，我认为你对音乐有某种良好的感觉。你前面的几支取自都有可取之处，它们难道只是歪打正着吗？”
阿基里斯则表示，自己只是在进行尝试，尝试这种表达方式的极限。而且很多古典音乐爱好者和研究者，对于后现代的音乐确实看法和螃蟹类似。同时以约翰凯奇为代表的实验派等等当代新流派艺术也和阿基里斯一样——他们只是在尝试表现形式的极限所在，而不管做出来什么稀奇古怪的玩意。
阿基里斯又写了一个和谐的数论语句，螃蟹表示很高兴——这里结合之前的提示我们知道了，阿基里斯写出来不好听的数论语句应该就是“假”语句，另外三次则是“真”语句。乌龟给阿基里斯最新写的这首乐曲取名叫《毕达哥拉斯之歌》，然后他们顺嘴讨论了一下当年毕达哥拉斯发现无理数对于数学的冲击（第一次数学危机）。之后他们三个来到了禅定的茶馆里，阿基里斯继续写出新的数论语句的字符串，交给螃蟹来演奏。但是螃蟹估计是吹累了，虽然阿基里斯兴致勃勃地等着螃蟹给他的作曲作出评论，但是螃蟹还是打了个哈哈没有回答阿基里斯，之后就离开了。
螃蟹这里的态度，让笔者联想到了当年音乐家们第一次看到电脑编程自动作曲时的反应，矛盾的心情不言而喻，所以螃蟹选择离开了。但是这个过程不是无意义的，他们显然揭示出了一些有意思的东西。在对话的最后，乌龟开始唱起了螃蟹的赞美歌。

   
    
  
   
    
  
   
    
  

三：斯里尼瓦瑟·拉马努金
对话中提到的印度数学家拉马努金是一个值得一提的人物，虽然如前言所说：很多人可能对于衍生的内容不感兴趣，认为这占了篇幅。但是反过来说一句，恰恰是这些被摒弃掉的内容，对于这本书标书的内容理解是有帮助的。所以关于这位印度数学家是值得深挖一下的，也不算离题。
斯里尼瓦瑟·拉马努金（又译拉马努詹、罗摩奴詹、拉玛奴衍，1887年12月22日－1920年4月26日），他是史上最著名的亚洲数学家之一。虽然没有受过正规的高等数学教育，但他却沉迷数论，尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式、以及整数分拆等内容。仅仅凭借直觉（或跳步或称之为数感）导出公式，不作证明。令人惊奇的是他的理论在事后往往被证明是对的。他所留下的尚未被证明之公式，引发了后来的大量研究。1997年，《拉马努金期刊》（Ramanujan Journal）创刊，用以发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文。他自学成才并负笈剑桥的传奇故事曾数次被拍成电影，最新电影是2015年的《知无涯者》。 
拉马努金生于印度东南部泰米尔纳德邦的埃罗德，拉马努金的童年相当穷困，经常到了挨饿的地步。他十岁的时候似乎第一次接触到正规的数学。他的传记作家称他的天才在14岁时开始显露。他不仅在他的学生岁月里不断获得荣誉证书和奖学金，他还帮学校处理把1200个学生（各有不同需要）分配给35个教师的后勤事务，他那时已经显示出对无穷级数的熟练掌握；他那时的同校的人后来回忆说：“我们，包括老师，很少可以理解他，并对他‘敬而远之’”。但是，拉马努金在其他科目上则没有显示出什么才能，在高中考试中还不合格。
结婚之后，为了生计。拉马努金带着他的数学计算能力在金奈（旧称马德拉斯）到处找抄写员的工作。最后他找到了一个工作，作为金奈总会计师事务所的职员。那个时候拉马努金奢望自己作为会计可以完全投入到数学中而不用作其他工作。他恳请有影响的印度人给予支持，并在印度数学期刊上发表了一些论文，但这些努力并未成功找到经济支持。这个时候，只有慕克吉（Ashutosh Mukherjee）爵士试图支持他的事业。 
在1913年拉马努金把一长串复杂的定理分别发给了三个剑桥的学者，他们分别是：贝克（H. F. Baker）、霍布森（E. W. Hobson）、哈代（G. H. Hardy），三人中只有三一学院的院士哈代注意到了拉马努金定理中所展示的数学天才。 
在起初的一些怀疑过后，哈代回信给了一些评论，并要求拉马努金给出一部分证明给自己。随后哈代就邀请拉马努金来英国与自己一同合作。作为正统的婆罗门，拉马努金咨询了他的旅行的星象。因为出于宗教的考虑如果到外国去他可能会失去他的种姓。拉马努金的母亲做了个梦，在梦中家族女神告诉她不要阻拦她儿子的行程，所以他的家人同意了，但还是要求他保持婆罗门的生活方式。
在几年的合作中，他们获得了丰硕的数学成果——大量的定理和猜想，这些成果包括拉马努金自己的发现，和那些在和哈代的合作中发展和证明的定理其中包括了：高度合成数的性质、整数分割函数和它的渐近线、拉马努金θ函数。拉马努金也在下列领域做出重大突破和发现：伽玛函数、模形式、发散级数、超几何级数、质数理论
拉马努金的发现异常丰富；甚至很多在日后被发现，其内涵比原本乍看之下还要丰富许多。比如：拉马努金猜想——虽然拉马努金提出的很多命题都有资格被称为拉马努金（的）猜想，但其中一个特别有影响力，所以我们特别正式地把它称为拉马努金猜想。拉马努金猜想断定了拉马努金τ函数的大小。这里说的τ函数的生成函数是模判别式Δ(q)（模形式理论中一种典型的尖形式（cusp form））。这个猜想在1973年终于被证明，可由皮埃尔·德利涅证明的魏依猜想推论而得，其化简步骤相当复杂。 
这段合作经历，哈代将之描述为：“我一生中最浪漫的事件”。哈代评论拉马努金的公式，有些他起先不能理解，他说：“只要看它们一眼就知道只有第一流的数学家才能写下它们。它们肯定是真的，因为如果不是的话，没人能有足够的想像力来发明他们。”哈代在艾狄胥对他的一次采访中说他自己对数学最伟大的贡献是发现了拉马努金，并把拉马努金的天才比作至少和数学巨人欧拉和雅可比（Carl Jacobi）的相当。拉马努金后来成为三一学院的院士，并得到了科学界最高级别的荣誉，英国皇家学会会员（FRS）。 
然而可能因为同年生活环境的困苦，以及之后坚持这婆罗门的生活习惯，健康问题困扰了拉马努金的一生。由于过度投入研究工作，拉马努金的身体状况在英国急剧恶化。健康压力的加剧以及第一次世界大战时蔬菜的稀缺可能使问题变得更加严重。他在当时被诊断为肺结核以及严重维生素不足，但后来在1994年由杨格（Dr. D.A.B Young）进行的对拉马努金的医疗纪录和症状的分析结论认为，他更可能有肝变形虫病（一种感染肝脏的寄生虫当时在金奈，这种疾病广泛传播，拉马努金在那里带了很长一段时间）。
拉马努金于1919年返回印度，之后不久便在贡伯戈讷姆去世，他对这个世界最后的礼物是拉马努金θ函数的发现。他的妻子贾纳姬（S. Janaki Ammal）之后搬到了孟买，1950年回到金奈生活，直至1994年逝世。（拉马努金是印度种姓的婆罗门，婆罗门结婚可以很早，他的妻子嫁给他时只有九岁）
拉马努金终生过着婆罗门的生活，并将他在数学上的才能归功于他的家族女神纳玛姬莉（Namagiri：被视为Lakshmi的化身），并在工作中向她寻求灵感。他经常说：“一个方程对我没有意义，除非它代表了神的一个想法。” 
除了大量数学成果，拉马努金还留下了三本笔记本。这三本活页纸笔记上记录了很多数学结果，但没有推导过程。这可能是对拉马努金不能证明自己的结果而只是直接想到最后结果的误解的起源。后世学者在对这些笔记研究后感到，拉马努金几乎肯定能够对他绝大部分的结果作出证明，只是他选择了不做出证明。 
这种工作风格可能有几个原因：1·因为纸在那时很贵，拉马努金在写字石板上进行了他大部分的工作可能还有他的证明，然后只将结果转移到纸上。2·在当时的印度，使用写字板对于数学的学生来讲很常见。他也可能受一本书的影响——他大部分的高等数学知识的来源卡尔（G. S. Carr）的《纯数学和应用数学概要》（Synopsis of Pure and Applied Mathematics），这是卡尔用来教授数学的。它总结了几千个结果，不带证明的给出了它们。最后，可能拉马努金认为他的工作只是给他自己的个人兴趣用的；所以只记录了结果。
后世学者针对他的笔记本，做了大量的研究工作，写作了大量的研究论文。
拉马努金可以说是印度在过去一千年内最伟大的数学家之一。他对数学结果的直觉性，还有跳跃思维甚至令今天的数学家都感到迷惑，在他死后70多年。他的论文中埋藏的秘密依然在被挖掘出来。他的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。
美国作家罗伯特·卡尼盖尔所著传记《知无涯者：拉马努金传》后被中国数学家，武汉大学前校长齐民友先生等翻译成中文。 

   
    
  
   
    
  
   
    
  

四：丘奇、图灵、塔斯基及别的人
现在可以展开本书的一个主要论题了，那就是：思维的每一个方面，都可以看成是从较高的层次上描述的一个位于较低层，受某些简单的乃至形式的规则支配的系统。当然，这个‘系统’就是大脑——除非谈论的是在另一种媒质（比如一台计算机的电路）中流动的思维过程。形象地说，这是一个支撑着‘非形式系统’的形式系统，那个非形式系统能一语双关、能发现数字中的模式、会忘记人的姓名、会走臭棋、等等。我们从外部看到的是它的非形式化的、公开的、软件的层次。作为对照，它还有一个形式化的、隐蔽的、硬件的层次（或叫‘基质’），这是一部令人望而生畏的机器，它根据物理地嵌入其中的某些确定的规则以及与之密切相联的信号输入，在各个状态之间进行转换。
这里是一个挺重要的论述，但是要注意侯世达教授在这里仅仅是在讨论，而不是下了定义。虽然任何表达都必然具有倾向性——我们可以看出来，在这里侯世达教授对于心智依然偏向于机械论的解释，正好和之前卢卡斯教授的定义相对（附录系列第二篇就是卢卡斯教授的论文），所以后面也有对于卢卡斯教授理论的反驳内容。但我们依然是在进行一些启发性的讨论，而不是单纯的站队。
像这样一种对大脑的看法，肯定会有很多哲学的和其它方面的推论。我打算在这一章里详细地说明这样一些推论。其中之一是说，这种看法似乎蕴含着：从本质上讲，大脑是某种‘数学’对象。其实，这充其量也不过是看待大脑的一种十分笨拙的办法。因为即便在技术意义或抽象意义上说大脑是某种类型的形式系统，仍然无法摆脱下面的事实：数学家只与那些简单的、考究的形式系统打交道，在那些系统中，一切东西都有着极为清晰的定义。而大脑则与此大相径庭，它的上百亿个不完全独立的神经原彼此是近乎随机地相联接的。所以，数学家绝不会去研究实际的大脑网络。如果你把‘数学’定义为数学家喜欢作的事物，那么大脑的性质就不是数学性质了。
我们始终不应该忘记本书的大方向：探讨人工智能。而这里其实牵扯到另一个问题：目前为止我们所讨论的形式系统、推理演绎、数学等等，均可以看作我们的大脑的不完全模型。模型和真实之间的鸿沟其实是暧昧不明的，尤其是一个动态的模型，到什么时候会跨过临界点？机械论的赞同者们相信我们可以跨过这道鸿沟，而反对者（可能包括唯灵论）则认为这道鸿沟不可逾越，，这是问题的分歧所在——GEB整体的讨论方向依然倾向于我们能做到，以及如何做到。
“依我看，在揭示……联想的本质时，有了计算机提供的实验手段，就可以做更多的事情了。这种研究必定要把概念、符号、符号组成的类、类组成的类等等进行分级，就像在研究数学和物理结构的复杂性时所做的那样。
人脑的思维过程一定有某种窍门——某种递归公式。一组神经原能自动开始工作，有时用不着外来刺激，而是靠一个具有递增模式的迭代过程。它在大脑中游来荡去，而且，它的发生方式必定依赖于对类似模式的记忆。——《一位数学家的奇遇》by：斯坦尼斯拉夫·乌兰姆”
侯世达教授认为：“人工智能”（Artificial Intelligence）的“AI”缩写也可以解释为“人工直觉”（Artificial Intuition）或“人工意象”（Artificiall Imagery）：
“人工智能的目标是要弄清，当人的大脑在一种十分复杂的环境中不动声色地从大量可能性中选择哪一种最为合理时，会发生什么事。在现实生活的许多场合，演绎推理之所以不适用，并不是因为它会得出错误答案，而是因为它会得到过多的正确然而无关的断言。为了满足推理本身的充分性，需要同时考虑的东西也就太多了。”
这里可以联想到人类大脑在实际的运作中恰恰是“去繁就简”：我们大脑的信息处理往往会进行“降噪”，虽然身边所有的一切都是确实存在的，但我们不会把所有的东西都完全包括进去。关于这方面的一个直接例子是漫画和图像分辨率：日式漫画的美型恰恰是集中强调元素，对人脸进行了“降噪”——真人版永远亮瞎眼，因为我们分辨人脸涉及到的“噪点”比画面要多得多。另一个例子是即使超高分辨率的画面依然没有涵盖到真实情景的全部，我们也确实可以明确感受到不同分辨率；乃至于照片和实物之间存在的某种“差距”。
这说明这个信息处理过程是真实存在的，在这个过程中就已经蕴含了一种近乎于“直觉”的辨别能力。而且除了具体的信息，这种分辨能力也可以是抽象的。比如对话中螃蟹所表现出的，虽然它坚持认为这是巧合（因为螃蟹不懂数论），但它确实可以做到辨别数论的“真”和“假”。但是这违反了一个著名的定理：
“螃蟹的行为看上去直接违背了阿基里斯所熟悉的一项备受称颂的元数学结果：
丘奇定理：没有一个切实可靠的方法总能区分开TNT的定理和非定理。
这是美国逻辑学家丘奇于1936年证明的。与此密切相关的是下面这个结果，我称之为：
塔斯基—丘奇—图灵定理：没有一种切实可靠的方法总能区分开真的数论语句和假的数论语句。”
侯世达教授这里总结的定理来自于一个共同的基础：邱奇——图灵论题。这是数学、大脑及思维哲学中最重要的概念之一。

   
    
  
   
    
  
   
    
  

1·邱奇——图灵论题
邱奇-图灵论题（Church–Turing thesis，又称邱奇-图灵猜想、邱奇论题、邱奇猜想、图灵论题）是一个关于可计算性理论的假设。该假设论述了关于函数特性的，可有效计算的函数值（用更现代的表述来说--在算法上可计算的)。简单来说，邱奇-图灵论题认为：“一切直觉上能计算的函数都可用图灵机计算，反之亦然。”
图灵机（Turing machine）又称确定型图灵机，是英国数学家艾伦·图灵于1936年提出的一种将人的计算行为抽象掉的数学逻辑机，其更抽象的意义为一种计算模型，可以看作等价于任何有限逻辑数学过程的终极强大逻辑机器。注意这个机器的每一部分都是有限的，但它有一个潜在的无限长的纸带，因此这种机器只是一个理想的设备。图灵认为这样的一台机器就能模拟人类所能进行的任何计算过程。
可计算性理论或称递归论，是一个数理逻辑分支。它起源于可计算函数和图灵度的研究。它的领域涉及到包括一般性的可计算性和可定义性的研究。在这些领域中，这门理论同证明论和可行描述集合论（effective descriptive set theory）有所重叠。 
数理逻辑中，可计算性理论家经常研究相对可计算性、可归约性概念和程度结构的理论。相对于计算机科学家，他们研究次递归层次，可行的计算和公用于可计算性理论研究的形式语言。在这两个领域之间有着相当大的知识和方法上的重叠，而没有明显的界限
而在计算机科学中：可计算性理论（Computability theory）作为计算理论的一个分支，研究在不同的计算模型下哪些算法问题能够被解决。相对应的，计算理论的另一块主要内容，计算复杂性理论考虑一个问题怎样才能被有效的解决（图灵度）。 
在20世纪上半叶，学者们对可计算性理论进行了公式化表示的尝试，有三个重要的理论成果： 
美国数学家阿隆佐·邱奇创建了称为λ演算的方法来定义函数。
英国数学家阿兰·图灵创建了可对输入进行运算的理论机器模型，现在被称为通用图灵机。
邱奇以及数学家斯蒂芬·科尔·克莱尼和逻辑学家J·巴克莱·罗斯一起定义了一类函数，这种函数的值可使用递归方法计算。
这三个理论在直觉上似乎是等价的——它们都定义了同一类函数。因此，计算机科学家和数学家们相信，可计算性的精确定义已经出现。邱奇-图灵论题的非正式表述说：如果某个算法是可行的，那这个算法同样可以被图灵机，以及另外两个理论所实现。 
在发表于1936年的论文《论可计算数字，及其在判定性问题中的应用》中，阿兰·图灵试图通过引入图灵机来形式地展示这一想法。在此篇论文中，他证明了“判定性问题”是无法解决的。而在这篇论文发表的几个月之前，阿隆佐·邱奇在“关于判定性问题的解释”（A Note on the Entscheidungsproblem）一文中证明出了一个相似的论题，但是他采用递归函数和λ演算来形式地描述有效可计算性。
λ演算由阿隆佐·邱奇和斯蒂芬·克莱尼提出，而递归函数由库尔特·哥德尔和雅克·埃尔布朗提出。这两个机制描述的是同一集合的函数，正如邱奇和克林所展示的正整数函数那样。在听说了邱奇的建议后，图灵很快就证明了他的图灵机实际上描述的是同一集合的函数。
之后用于描述有效计算的许多其他机制也被提了出来，比如寄存器机、埃米尔·波斯特（Emill Post）的波斯特系统，组合子逻辑以及马尔可夫算法（Markov 1960）等。所有这些体系都已被证明在计算上和图灵机拥有基本相同的能力；类似的系统被称为图灵完全。因为所有这些不同的试图描述算法的努力都导致了等价的结果，所以现在普遍认为邱奇－图灵论题是正确的。
但是，该论题不具有数学定理一般的地位，也无法被证明；说是定理不如说是个将可计算性等同于图灵机的提议。如果能有一个方法能被普遍接受为一个有效的算法但却无法在图灵机上允许，则该论题也是可以被驳斥的。 
在20世纪初期，数学家们经常使用一种非正式的说法即可有效计算，所以为这个概念寻找一个好的形式描述也是十分重要的。当代的数学家们则使用图灵可计算（或简写为可计算）这一定义良好的概念。由于这个没有定义的用语在使用中已经淡去，所以如何定义它的问题已经不是那么重要了。 
虽然这三个理论被证明是等价的，但是其中的前提假设——“能够有效计算”是一个模糊的定义。因此，虽然这个假说已接近完全，但仍然不能由公式证明。 
已知的三种计算过程（递归，λ演算和图灵机）都是等价的——这三种方法定义了同一类函数。这导致数学家和计算机科学家相信可计算性的概念可由上述三种等价的计算过程描述。简单来讲，邱奇-图灵论题认为如果某种方法（算法）可进行运算，那么该运算也可被图灵机执行（也可被递归定义的函数或λ函数执行）。 
邱奇-图灵论题是对计算特性进行描述的一种陈述，故而不能被严格证明。虽然上面提到的三种计算过程可被证明为等价的，但是邱奇-图灵论题最根本的前提——声称一个函数是“可有效计算的”究竟意味着什么——在某种意义上是不甚明确的直觉结果。所以，该论题依然是一个假想。 
尽管邱奇-图灵论题不能被证明，到目前为止它仍然受到近乎全面的接受。 
对于“可有效技术的”这一定义的正式阐述，图灵等人也做过很多尝试：
罗斯于1939年对“可有效计算性”进行了如下的解读：“很明显CC和RC（邱奇和罗斯的论据）的成立依赖于对‘有效性’的严格定义。‘有效的方法’主要是指该方法的每一步都可被事先确定，而且该方法可在有限的步数之内生成结果”。因此所谓的“有效性”实际上包含两层含义： 
产生一种确定的，或者所需的效果
能够产生计算结果
于是术语“可有效演算的”意味着“由任何直观上有效的方法产生的”，而术语“可有效计算的”意味着“由图灵机或任何等价的机械设备产生的”。图灵本人对此的定义由他在1939年的博士论文《基于有序数的逻辑系统》的脚注中给出： 
“我们应该使用‘可计算函数’来表示一个可被机器计算的函数， 使用‘可有效演算的’来指代那些并未特别指明的直观想法。”
这可以转述为：“任何可有效演算的函数都是可计算函数。”
图灵则是如此描述的：“当一个函数的值可由某种纯机械计算步骤得到时， 它就是可有效演算的函数……应该这样认识：可计算性和可有效演算性是不同的。”
邱奇—图灵论题的另外一种说法就是逻辑和数学中的有效或机械方法可由图灵机来表示。通常可以假定这些方法必须满足以下的要求： 
一个方法由有限多简单和精确的指令组成，这些指令可由有限多的符号来描述。
该方法总会在有限的步骤内产生出一个结果。
基本上人可以只用纸张和铅笔来执行。
该方法的执行不需人类的智慧来理解和执行这些指令。
此类方法的一个范例便是用于确定两个自然数的最大公约数的欧基里德算法。 
“有效方法”这个想法在直觉上是清楚的，但却没有在形式上加以定义，因为什么是“一个简单而精确的指令”和什么是“执行这些指令所需的智力”这两个问题并没有明确的答案。

   
    
  
   
    
  
   
    
  

2·形式的等价和拓展
实际上，像泡茶一样，丘奇—图灵论题也能有各种不同的浓度。所以，我要以好几种形式来表述它，并且看看这些不同的形式各自蕴涵着什么。

……丘奇—图灵论题，同义反复形式：数学问题只能通过数学推演来解决。

自然，整体的意义寓于作为组成成分的各术语的意义之中。所谓‘数学问题’，我指的是判定某个数是否具有一个给定的算术性质。看得出，借助于哥德尔配数法和相应的编码手段，几乎每一个数学分支的每一个问题都能归入这种形式。所以，‘数学问题’一词仍保持其通常含义。‘数学推演’又怎么讲呢？当你试图确定一个数是否具有某种性质时，似乎只有一遍又一遍地结合使用很少量的几个运算——加法、乘法、验证相等与不等。这就是说，循环地使用这些运算，好像就是使我们得以深究数的世界的唯一工具。要注意‘好像’这个词。这是有关丘奇—图灵论题的关键字眼。
通过上面的介绍，我们可以知道，由于该论题尚无证明，而前提定义又有些模糊。所以在形式上，可以找到多个“修订版本”——标准形式、弱形式、强形式、以及拓展到其它领域的几种形式（延伸形式）。标准形式作为基础，弱形式弱化了定义从而限定了其涉及到的范围，而强形式强化其定义，以试图覆盖更广的范围。（这里还局限于算术领域，之后还会结合进入别的领域）这里我们要回想起前几章提到过的一个程序语言：FlooP——可无限循环搜索语言。（之所以是可以无限循环搜索，是因为在图灵机的假设里，图灵机上面那个写着算术步骤的纸带子是无限长的。）
书中列出的几种论题形式如下：
“丘奇—图灵论题，标准形式：假设有一种方法，一个有感知能力的生物可以根据这种方法逐个把数分成两类。又假定这种方法总能在有穷时间内得出答案，而且对于给定的数，这种方法总给出相同的答案。那么：存在一个有终止的FlooP程序（即一般递归函数），它给出的答案恰好与这个有感知能力的生物的方法所得到的答案一样。”
“丘奇—图灵论题，大众过程形式（弱形式）：假设有一种方法，一个有感知能力的生物可以根据它逐个把数分成两类。又假设这种方法总能在有穷的时间内得出结果，并且对给定的数它总能给出相同的结果。同时，还要假定这种方法可以通过语言由一个有感知能力的生物不走样地传达给另一个有感知能力的生物。那么，存在一个有终止的FlooP程序（即一般递归函数），它给出的答案恰好和这个有感知能力的生物的方法所得到的答案一样。”
“丘奇—图灵论题，同构形式（强形式）：假定有一种方法，一个有感知能力的生物可以利用它逐个把数分成两类。又假定这种方法总能在有穷时间内得到答案，而且对于一个给定的数总是给出相同的答案。那么，存在某个有终止的FlooP程序（即一般递归函数），它给出的答案恰好与这个有感知能力的生物的方法所得到的答案一样。而且这个心智过程与这个FlooP程序在下述意义上同构：在某个层次上，计算机和大脑各自执行的那些步骤之间存在一个对应。”
但是要再一次强调一下：“丘奇—图灵论题不是数学定理意义上的一个可证的事实——它是有关人脑中所使用的过程的一个假设。
丘奇—图灵论题，微观形式：一个生物体的各组成部分的行为能用计算机来模拟。也就是说，任何元素（为典型起见，就假定是一个细胞）的行为，都能用一个FlooP程序（即一般递归函数）——在给定该元素的内部状态和外部环境的一个足够精确的描述之后——计算到任意精确的程度。（这个FlooP程序估计是“始皇帝”电脑编的……）
丘奇—图灵论题，简化论形式：全部的大脑过程都可以从一个可计算的基质中导出。
丘奇—图灵论题，唯灵论形式：大脑所能做的某些种类的事情可以大致地由一台计算机来模拟，不过不是大多数事情，而是一些不那么吸引人的事情。不管怎么说，即使都能模拟，灵魂仍将留待解释，而且没有什么方法能让计算机来承担这个任务。
丘奇—图灵论题，人工智能形式：任何种类的心智过程都可以用一个计算机程序来模拟，而该程序的基础语言与FlooP一样强，也就是说全体部分递归函数都能用这种语言程序化。”
但是对于这样的假设，反驳的声音是必然的。两种“修订版本”就是书中拿来针对不同反对的例子，比如弱化版本可以涵盖一些大多数人共有的接受过程，但是一些个别特例不在讨论范围内——这里的接受过程类似于之前对话中提到的，螃蟹对于数论的“感受能力”（而且是不自知的）。
书里还提到了另一个反驳各种形式的邱奇—图灵论题的例子：就是上面部分介绍过的那位传奇印度数学家：斯里尼瓦瑟·拉马努金。上面对他的生平已经有过详细的介绍，要强调一点的是他的这种“直觉性”并不是百分之百正确的，拉马努金也会犯错误。而且通过他遗留下的笔记可以知道，拉马努金并不完全仅凭“直觉”或的定理，虽然他可能确实是托梦才想到了这些，因为事实上他的笔记透露出：他可能其实知道证明方式，只是他没有写出来。
在讲拉马努金提出作为邱奇—图灵论题的反例的时候，书里在这里说了两件关于这位印度数学奇才的轶事：
其一；在拉马努金病重的时候，哈代前往探望。哈代与拉马努金聊天说自己搭计程车来，车牌号码是1729，这数字真没趣，希望不是不祥之兆。而拉马努金却答道：“不，这个数有趣得很。在所有可以用两个立方数之和来表达而且有两种表达方式的数之中，1729是最小的。”（即1729=1^3+12^3=9^3+10^3）
哈代随后问拉马努金，是否知道四次方的类似问题？拉马努金想了一会说自己一时间回答不上来，但是第一个这样的数一定很大（实际上第一个数是：635318657，可以写作：635318657=134^4+133^4=158^4+59^4）后来这类数称为“的士数”。哈代引述利特尔伍德的话说：“每个正整数都是拉马努金的朋友。” （这件事情非常广为人知，任何关于拉马努金生平的文章可能都会提到这件事）
值得注意的是，在这个问题上哈代就体现出了“专业数学家”的思维特性——他立刻就想到了“推广”——这样一种“数学美学”的意义最终能不能得以程序化呢？
其二：拉马努金在剑桥时候的一位印度朋友玛拉哈诺比斯博士将其称之为“拉马努金的闪念”：
又有一次，我去他家吃午饭，当时第一次世界大战已经打了一些时候了。我手里拿着一份《海滨杂志》月刊，当时这家杂志常发表一些谜题供读者解答，拉马努金正把锅坐在火上，在里面搅拌着什么东西准备午饭，我则坐在桌子旁边翻阅杂志。有一个涉及两个数之间的关系的问题吸引了我。问题的细节已经忘了，不过我还记得它的类型。是说两名英国军官住在巴黎一条长街上的两所房子里，其门牌号码有某种特殊的联系，问题就是：求出这两个数。题目并不难，我通过尝试、订正，花了几分钟就解出来了。”

随后玛拉哈诺比斯博士就拿着这个问题去问拉马努金，没想到拉马努金直接给了他一个连分数，而这个连分数的第一项正好是玛拉哈诺比斯自己得出来的解，而连分数后面的每一个项则代表了如果街上的门牌号码无限延伸下去的时候，两个数之间同类型关系问题的每一个答案。玛拉哈诺比斯非常惊奇地问拉马努金：“你一眨眼之间就得到这个解了吗？”拉马努金回答说：“我一听到这个问题就明显感到，解显然是一个连分数，于是我就想：是个什么样的连分数呢？然后答案就在我脑子里出现了。就是这么简单。
书中认为，这一类人的特性并不是某种“神秘”，他们本质上与寻常的“数学家”相似。他们就是对话中的“螃蟹”，包括拉马努金在内，这一类人的才能往往超过自己的认知。而之所以他们能表现出某种“直觉般的”才能，是因为他们的大脑比起一般的加速了忽略了一些步骤，而本质上与寻常的数学家没有什么不同。——这部分是侯世达教授自己给出的解释，所以并不是什么绝对的答案，而仅是一家之言。又不认同的花尽管可以反驳，但目前来说这个人体只能是各持己见。
总之书里引用了哈代教授对于拉马努金的评论：
“我曾不时地被人问起：拉马努金是否有什么特殊的奥秘？他的方法是否与其它数学家有实质上的不同？他的思维方式是否确实有什么不正规的东西？我无法以任何自信的或有说服力的方式来回答这些问题，不过我并不相信那些假设。我的信念是，从本质上讲，所有的数学家都在用同一性质的方法思维，拉马努金也不例外。
……
他的记忆力和计算能力很不寻常，不过也不能说它们‘反常’。当他需要做两个大数的乘法时，他是用普通的方法，只是他可以用不同寻常的速度和准确来做好它，，但也并不比任何一名天生迅速而又有计算习惯的数学家更快。
……
由于他的记忆、耐心和计算才能，他把综合能力、对形式的感觉能力和对假设的快速修订能力结合了起来，这经常出人意料，并使他在那个时代中自己的那个领域内无可匹敌。
……
【他的工作】没有最伟大的工作所必须具备的那种简洁性和必然性。如果不那么古怪，，它就会更伟大一些。他的工作具有一种不可否认的天赋——意义深刻和无往不胜的独创性。如果他早在青年时代就被发现并受到一些训练，他就可能成为一名伟大的数学家，他就会完成更多新的、而且无疑是极为重要的发现。另一方面，那也将使他变得不那么像拉马努金，而更像一名欧洲教授。这也许是得不偿失的。”
书中以此总结出了邱奇—图灵论题的哈代形式版本：“从本质上讲，所有数学家都同构。”

   
    
  
   
    
  
   
    
  

五：大脑与程序之间
1·对应关系——“同构”
我们又要回到“同构”这个主题上来了，在书中这个主题多次出现。回想到这本书的主题之一就是在探讨“人工智能”的可实现性，那么反复提及“同构”的意思应该就很明确了。跳开中间各种复杂的问题提来说，如果能够找到大脑中与“形式系统”之间的某种对应关系，那将会为“人工智能”的实现指引出大方向来。来看一看邱奇—图灵论题的最后那个“强化版本”：
“简而言之，丘奇—图灵论题的这种形式断言：当一个人计算某个问题时，他的心智活动可以同构地在某个FlooP程序中得到反映。不过读者应该清楚，这并不意味着大脑实际上是按照一个用FlooP语言写下的、尽是些BEGIN、END、ABOUT之类的FlooP程序而运行的——完全不是。这只不过是说各个步骤之间的次序与FlooP程序中相应的次序完全相同，而且计算的逻辑结构也可以在FlooP程序中得到反映。”
但是这种计算机和大脑之间的对应关系不是那么容易直接对上号的，必须结合之前提到过的另一个概念“层次”。大脑和计算机本身都存在多层次的结构，当我们在讨论这类对应的时候，实际上我们首先需要把这些多层次都分出来。这里的对应实际上是在“某个层次”间的对应，这里必须把话说清楚，不然一定会引起误会。
“很可能，在人的头脑中进行的这些计算步骤都处于最高层次，并从较低的层次上得到支持，因而最终是被‘硬件’所支持。所以如果我们说到同构，那就意味着我们心照不宣地作了一个假设，即能把最高层隔离开来，从而使我们得以脱离其它层次来讨论这里发生的事情，并能把这个顶层对应到FlooP。”
所以这里说的“同构”并不是指计算机和大脑之间某种“大规格”上地对应，而是仅限于“计算”这一层次上二者的对应。把这个思路拓展一下，我们再来看看GEB的内容。我们明白了，之所以在这本书中讲人工智能主题时，要提到那么多数理相关的内容。（尤其侯世达教授还专门发明了TNT来描述数论。）因为，要寻找我们的大脑与“机械”（形式系统）之间最明显的“同构”部分的就是数论。大脑在对数论进行计算步骤的时候，其所做的事情与计算机是类似的。
那么在数论的范围内，大脑可以和计算机找到对应关系。但是这种对应的建立是因为，数论本身就是那么清晰明了，是完全自足的。但是一旦进入现实，这种对应的建立就很困难了。因为和数论相比，现实问题复杂太多了。（可能和很多人的直观感受相反）
在书中关于邱奇—图灵论题的几个变种当中——尤其是后面关于论题的延伸版本里，参入了以前章节里的生物学、简化论和唯灵论的概念。这几个也是对于人类大脑解释的非常经典的两个对立观点——前两者有大量科学家所信奉，后者则大多是哲学家。
“有人认为，要想实现人工智能，就总有一天得要模拟或复制大脑的实际硬件。这种想法至少迄今为止是使很多人工智能工作者极为反感的。人们仍在纳闷：‘我们得把大脑模拟到什么精度才算实现了人工智能？’实际答案可能是：这完全依赖于你想要模拟人类意识的多少特征。”（这一段可以作为侯世达教授对现在的人工神经网络研究的态度，而且从之前笔记下的评论来看，相信也有人看出一些内容来了，所以问题重点在于——人工神经网络是人工智能的正确发展方向吗？至少侯世达教授持着否定的意见。）
“玩好跳棋的能力是否足够成为智能的指标？如果是，那么人工智能就已经存在了，因为下跳棋的程序是世界第一流水平。或者，智能是不是一种像大学一年级微积分课程中用纸笔求函数积分的能力？如果是，那么人工智能就已经存在了，因为符号积分运算的程序在大多数情形已胜过最熟练的人了。或者，智能是不是弈棋之类的能力？如果是，那么人工智能就已经上了正路，因为下国际象棋的程序已能战胜最好的业余棋手了，而且机器棋手的水平仍然可以继续改善。”（回想到人们对于阿尔法狗下赢围棋的反响，对于智能的观点上，我们可能意外的懵懂。）
“历史上，人们对于什么性质在机械化了之后能算是无可争议地构成了智能，一直是很幼稚的。有些时候，当我们朝着人工智能方向前进了一步之后，却彷佛不是造出了某种大家都承认的确是智能的东西，而只是弄清了实际智能不是哪一种东西。如果智能包括学习、创造、情感响应、美的感受力、自我意识，那前面的路就还长，而且可能一直要到我们完全复制了一个活的大脑，才算是实现了这些。”（电子脑、湿件……从计算机诞生初期，人们就把目光投向了赛博朋克……了不起的眼光。）

   
    
  
   
    
  
   
    
  

2·“非理性”计算机
早在探讨关于“意义”之所在的那一章节里，就涉及到了“层次”这个结构。这是一个非常重要的概念，它在关于递归的内容里也出现过一次。在上述内容中，试图寻找人类大脑与计算机之间的对应关系时，它就起到了非常重要的关联作用。它其实在一定程度上解决了很多问题，这是非常非常重要的一个概念，当人们意识不到它的时候，极有可能就会被“混淆”，从而限制了自己的视野。
“不过，‘非理性与计算机不相容’这个观念，是由严重的层次混淆引起的。这个错误观念出自一种想法：由于计算机是运行得完美无缺的机器，所以它们在所有的层次上都必然得‘逻辑地’行动。而十分明显的是，一台计算机可以按指令打印出一系列不合逻辑的语句——或者，换个方式说，打印出一批具有随机真值的语句。然而，按照这样一类指令工作，计算机并不会出任何错误！相反，仅当打印出了指令规定的语句之外的东西时。它才算是出错了。这说明，在一个层次上完美无缺的运行如何会支持较高层次上的符号操作——而高层上的目标却可能与真理的传播毫无关系。”
这很有意思，很多时候大众对于“人工智能”的向往，认为它们会“高于”、“强过”人类的一个论据其实也来源于这个混淆。另一个反过来的证明是从生物神经学上来对大脑进行的解释：毫无疑问大脑中的神经元、神经网络的运作全都是完美无缺的，从物理上、化学上，大脑的运作是不出错的——因为一出错就是“脑死亡”或者“大脑功能衰竭”。可是实际上，大脑在处理抽象问题的时候“频频出错”。所以侯世达教授在这里想要表述的是，穿越不同层次的时候，很多现象的性质将会产生变化。符号运作于低层次的时候，没有任何意义，而上升到高层次的时候却产生了意义。
所以在寻找计算机与大脑之间的对应关系时，循着这个思路，我们是否也有可能让计算机在更高层次上，获得人类大脑中那些非理性的概念——“美感”、“好恶”等等。对话中，螃蟹的那种分辨数论的音乐演奏方式，以及阿基里斯和乌龟对这个能力的探讨，可以看作是计算机程序上的一种尝试的比喻。
“在先前讨论各种各样的问题时曾多次提到——其实就是说：意义可以存在于符号操作系统的两个或多个不同的层次上，而且与意义一道，正确性与错误性能在所有这些层次上存在。意义在一个给定层次上的出现，取决于现实世界是否是以一种同构（还是较为松散）的形式在这个层次上得到反映。所以，神经原总是正确地执行加法（其实，是比加法复杂得多的计算），这一事实完全不能担保它们的机制所支持的最高层结论是正确的。即便大脑的最高层忙于证明布尔佛教的公案，或者忙于冥想禅宗代数的定理，它的神经原却仍在合理地行动着。同理，大脑中感受美的经验的高层符号过程，其底层是完全理性的，那里发生着完美无缺的行动。任何非理性的东西，如果存在，就是在较高的层次上，而且是低层事件的旁效现象——一个后果而已。”
其实这里依然是“逻辑演绎”思路的“人工智能”的研究方向，简而言之：计算机程序复杂到超出临界点之后，就会产生出“智能”或者类似的东西——但它的低层次依然不变，依然还是形式系统的典范。

   
    
  
   
    
  
   
    
  

3·与卢卡斯教授的辩论
这里再一次提到了卢卡斯教授的理论，并且试图进行反驳。（关于卢卡斯教授那篇论述人工智能的论文《心灵、机械与哥德尔》已经在笔记附录系列的第二篇发出来了）
首先要知道，这场辩论暂时还没有结果，因为双方之所以会产生辩论，是因为两边对于哥德尔与对于机械还有大脑心智的定义抱持着截然不同的看法。这才是争论的核心，其它则是附带的论述。而一般来说没有结果的争论都带有着大量目前还是“不可证”的部分。（也许未来会证明，或者证伪，那么这也将把辩论推向最终的结果）。
侯世达教授对于卢卡斯教授理论的反驳的又一个理由，就是这章节一直在论述的：“层次”产生质变。在硬件层次上卢卡斯教授对于机器的定义是正确的，但不代表到了高层次之后，他的定义依然是正确的。
“在人工智能研究中正在开发的很多程序与那些生成数论真理的程序——一些具有不变的推到规则和固定的公理集合的程序——没有多少共同之处，而且它们当然是有意做成‘心智模型’的。在它们的顶层——‘非形式’层次——可能有一些意象的操作、类比的形式、念头的遗忘、概念的混淆以及差别的抹杀等等。不过，这并不与下述事实相矛盾：它们就像大脑依赖其神经原的正确行动一样，依赖于支持它们的硬件的正确行动。所以，人工智能程序性依然是‘形式系统的具体实例’——不过他们不是能应用卢卡斯所曲解了的哥德尔证明的那种机器。卢卡斯的论证只适用于它们的底层，可是它们的智能——不论高低——并不依赖于那个底层。”
简而言之，一切还是归于“层次”结构之上。当然事实是否如此？这里还没有断言，这里仅仅是在作出假设，试图寻找到一个通向“真理”的方向。而且事实上，我们也很清楚，目前的“计算机”整个系统距离真正的人类“大脑”还有相当大的距离。那么“人工智能”的研究就是试图拉近这段距离，只是目前为止这段距离有多长都是未知的。
当然拉近距离可以有两个方向，一个是让“机器”跨入“高层次”（换个通俗的说法，机器超越自我）：另一个是我们深入自身，了解大脑的“神秘”。——要么把机器往人拉，要么把人往机器里框。
“人工智能论题：随着智能机的发展，它的基础机制会逐渐收敛于人类智能的基础机制。
换句话说，一切只能都只是同一主题的各种变奏。为了创造真正的智能，人工智能工作者如果想要使他们的机器达到我们所具有的能力，他们就得坚持深入那些较低的层次，使之越来越接近大脑的机制。”

   
    
  
   
    
  
   
    
  

六：λ演算——塔斯基不可定义定理
现在，让我们回过头来看螃蟹，再看看他的定理资格判定过程（伪装成一种判定音乐美的过滤器）是否与现实世界相容这一问题。实际上，根据对话中提到的事实，我们没有办法推定螃蟹的才智是不是一种分清定理和非定理的能力，或者换个说法，分清真陈述和假陈述的能力。当然，在很多情形下这是一回事，不过哥德尔定理表明这并不总是一回事。但是，这没有关系：如果我们相信丘奇—图灵论题的人工智能形式，那么这两种说法都不可能是真的。在任何强如TTNT的形式系统中都不可能有判定定理的过程——这个命题叫丘奇定理。没有一个判定数论真理的过程——如果这种真理存在的话。读者在看过TNT的全部分叉现象之后，很可能会怀疑这种存在性——这样一个命题可以很快地从塔斯基定理（发表于1933年。实际上其思想在此之前就早已为塔斯基所知）推出。
这里的“丘奇定理”应该是上文中提到过的，对于可计算性公式化尝试的理论之一：由数学家阿隆佐·邱奇在20世纪30年代首次发表的λ演算（lambda calculus、λ-calculus又可译为：lambda演算）。
这是一套从数学逻辑中发展，以变量绑定和替换的规则，来研究函数如何抽象化定义、函数如何被应用以及递归的形式系统。λ演算（lambda演算）作为一种广泛用途的计算模型，可以清晰地定义什么是一个可计算函数，而任何可计算函数都能以这种形式表达和求值，它能模拟单一磁带图灵机的计算过程；尽管如此，λ演算强调的是变换规则的运用，而非实现它们的具体机器。 
最初的λ演算系统被证明是逻辑上不自洽的——在1935年史蒂文·克莱纳和JB·罗斯举出了克莱纳-罗斯悖论。随后，邱奇在1940年创立了一个计算能力更弱但是逻辑上自洽的的系统，这被称为简单类型λ演算。
在1936年邱奇利用λ演算给出了对于判定性问题的否定证明：关于两个lambda表达式是否等价的命题，无法由一个“通用的算法”判断，这是不可判定性能够证明的头一个问题，甚至还在停机问题之先。 
λ演算可比拟最根本的编程语言，它包括了一条变换规则（变量替换）和一条将函数抽象化定义的方式。因此λ演算被普遍公认是一种更接近程序而非硬件的方式。对函数式编程语言造成很大影响，比如Lisp、ML语言和Haskell语言。
直到1960年，λ演算与编程语言的关系被确立了；在这之前它只是一个范式。由于理查德·蒙特古尔和其他语言学家将λ演算应用于自然语言语法的研究，λ演算已经开始在语言学和计算机科学学界拥有一席之地。
另一个塔斯基定理的全称应该是：塔斯基不可定义定理。这是由阿尔弗雷德·塔斯基在1936年给出并证明，是在数理逻辑、数学基础及形式化语义方面的一个重要的限制结果。简单来说：我们无法在算术系统中定义何谓“算术的真理”。从而这个定理可被推广成适用于任何足够强的形式系统，以表明：我们无法在系统中定义何谓“系统标准模型的真理”。
不可定义定理确实和不完备定理关系密切，我们在此之前已经了解过“哥德尔编码”的方法，这是哥德尔在证明不完备性定理的时候运用到的方法。在他的算术语言（形式语言）中，每条表达式都配有各自的编码，而每组表达式也可配有各自的编码组。如此一来，各种语义属性（当成式子或当成句子）变成可计算的。我们就可透过算术式定义任何可计算的编码组，具体而言，我们可用算术语言中的某些式子（即公理）为算术句子及可证明的算术句子定义出编码组。 
塔斯基不可定义定理则表明：我们无法按照语义的概念给式子进行恰当的编码，例如：真理的概念。这表明：世上没有任何直译语言足以表达出它本身的语义。我们可推论出，元语言必须具备超越对象语言的表达能力，才可表达出对象语言的语义。元语言具有对象语言所没有的原始概念、公理及规则，使得某些定理在对象语言中不可证明，在元语言中却可证明。 
简而言之，两种理论都涉及到一个类似于“说谎者悖论”的情况。也就是在公式当中无法出现“判定”语句——假设“判定语句”可以出现在公式系统内部，则公式系统内部会出现否定“判定语句”的判定语句（被排斥）。如果假设“判定语句”不能出现在公式系统内部，则公式系统内部会出现一个定理指向“判定语句”可以被接纳。等于不论如何假设，只要涉及到对于系统自身的“判定”就必然会出现悖论。这个情况实际上早在之前的笔记里对TNT使用“哥德尔配数”的时候就已经出现过了。无论如何TNT的判定性质的定理“G”或者“G”的否定都没办法加进TNT。（之前是在用这个例子在说明哥德尔不完备性定理，现在这个例子对于不可定义定理一样可以用。）
“就是说没有一种方法能在TNT内部表示真理的概念。”

   
    
  
   
    
  
   
    
  

七：意义之所在
关于“说谎者悖论”的问题，我们已经看到它在形式系统当中起到了多大的“阻碍”。但是这却并没有导致系统的奔溃。语言中早就存在着类似的情况，却也没有导致语言的崩溃。也许这个问题需要我们回到之前第五篇笔记的内容当中来——意义之所在还有形式与意义的关系。
形式中存在多重的层次，而意义则在其中不确定的地方。这种不确定性有时候反而帮助我们可以建立“有效形式”。这就是为什么至今为止虽然我们发现了“悖论”，但数学大厦并没有因此倒塌，而重新“定义”则帮助我们跨过了悖论的限制，让数学大楼建设的更高。在语言上也是如此，语义悖论没有能够破坏我们的语言体系，因为我们直接可以将其视为“无意义”从而绕过这个障碍。那么就像元数学（探讨数学的数学）一样，意义之所在的问题也值得我们深究。
这里重要的是‘意义’这个词。我们的心智有一些接受二维模型的解释机制，然后再从中‘抽’出高维概念，这些高维概念复杂得我们无法有意识地对之进行描述。其实，我们对音乐的反应也是一样。

……从本质上说，抽出一个符号串的意义的行为，涉及到建立它与其它所有符号串之间相关联时的全部意味，而这当然就导致一个无尽头的征途。所以，语义性质就与无终止的搜索联系在一起了。因为，在一个很重要的意义上，一个客体的意义并不局限于该客体自身之内。这自然并不是要说在时间终结之前就不可能理解任何客体的意义。因为，随着时间的流逝，越来越多的意义变明朗了。但是，不论过多久，其意义总还有些方面未被发现。
在之前就讨论过这个问题，我们并没有得到确定的答案。但是可以肯定的是：“意义”的生成来自多个方向，它是某种更复杂的触发机制生成的某种“现象”。同时来自于信息的载体自身，和对信息进行解码的对象。找到具体例子的话：不论是音乐的演奏者和听众、文章的作者和读者、游戏的创作者和玩家……同时这些过程还存在着多层次的结构，以至于到最后“意义”向着四面八方延伸出去，我们能定位到的，始终还是最基础的一些部分。（甚至这一部分共识的基础都是可以被挑战的）
“……说谎者悖论的汉语形式的这种解决，很可能类似于该悖论的塔斯基形式的解决。这种解决包括放弃‘大脑总是能够为真理概念提供一个完全精确的描写’这样一种观念。这种解决的新颖性，在于它暗示着给出真理的全面模型是不可能的，而这是由于一个来自物理方面的理由，即：做这样一个模型从物理上需要在一个大脑中出现不相容的两个事件。”
八：后记
GEB这本书的后面章节，更多的性质是在探讨，而不是单纯的下结论。这是很重要的一件事，值得反复强调。有些时候人们过于着急，想要寻到一个答案从而结束这个“探索”过程。这种专注确实可以提高效率，保持专一。但更多时候人们往往因此忽略了其中很多重要的部分，最后反而适得其反，现在静下心来确实不容易。
目前这是倒数第五章节，后面还有四个大章节，这本书就完全结束了。持续了两年多的长跑终于看到重点了（还没到）。笔者有信心可以在今年之内把读书笔记系列完结掉——附录系列还没准……
感谢有耐心看到现在的每一位读者，我的坚持来自于各位的支持，万分感谢！