《集异璧之大成》这本书涉及到的内容非常广,同时也很庞杂,但是如果能找到其中的关联性,就会茅塞顿开。每一个篇章的内容看似具有跳跃性,其实紧紧相连。在上一篇笔记的时候,最后还是绕到了哥德尔不完备性定理的内容上面来了,于是这一个章节就进一步的展开这个主题,同时为下一个篇章的内容打下基础——所以在这一章节,要直面哥德尔不完备性定理的证明内容(虽然前面提过很多次了)。
本章节在对话的部分,指出了哥德尔的自指构造在语言中得到的反映。之前就说过,数学的基础也来自于自然语言——在符号系统发明之前,我们也已经有了交流的方式。那么最早的数学还没有使用阿拉伯数字、还没有进制、甚至没有运算符号的时候,我们是怎么描述数学的?那就是自然语言。所以数学所包含的东西,实际上已经包含在自然语言当中来。数学是将那些需要研究的东西:逻辑、本质、真实等等内容从自然语言当中精简提炼出来,可以更直观的表现出来——数学、逻辑学等等相当是自然语言的“高度形式化”。
在GEB的前言简介当中提到,这一章节对于哥德尔的自指性在自然语言中的体现这一思路,来自于“蒯恩”。而笔者在进行搜索的时候,发现,现在网上普遍的翻译是叫“蒯因”或者“奎因”——音译的用字问题。这就直接把之前提到的不同语言之间的互相翻译,直观体现出来了。笔者在搜“蒯恩”这个关键字的时候,找到的是生卒年不祥的东晋将军(完全不搭界)而搜“蒯因”的时候就找到了正确的资料,通过内容判断,书中提到的受到的启发,应该就是来自与这位“威拉德·范奥曼·蒯因”。关于这位美国哲学家、逻辑学家的内容,会在下面大概的介绍一下,这样就知道GEB这一章节的思路来源了。
在这一章节的论述部分,题目叫:《论TNT及有关系统中形式上不可判定的命题》。这个题目直接采用了哥德尔1931年论文的标题,就是在那篇论文里,哥德尔著名的不完备性定理第一次发表。在这个章节里,主要仔细地考察哥德尔的不完备性定理证明的两个部分:
其一:TNT系统的一致性假设为什么会迫使人们得出“TNT(或者类似的强力系统)是不完全的”这一结论。
其二:哥德尔的证明同欧几里得几何以及非欧几何学之间的关系,以及同数理哲学的关系。
其实第二部分在前面有过很详细的讲解,相信有的读者可能已经注意到了,前面反复提到过欧几里得五大公设导致后来出现的问题——这就是一个很明显的不完备问题。欧几里得的前四大公设可以构建出一个“一阶逻辑”的完备系统。可是当他加入第五公设的时候,整个几何系统的强度大幅提高,反而出现了不完备的问题。所以后续数学家对此进行研究,发展出了非欧几何,而非欧几何主要针对的也就是如何对待第五公设的问题(非欧几何的出现,证明了欧几里得几何体系内,第五公设不可证明)。
当然同样的内容,放到今天,很多形式已经发生了变化——欧几里得时代,几何的描述是用“自然语言”来描述的——命题。而现在已经有高度形式化的表现方式了:解析几何、公理化系统等等。
另外提到关于自然语言的自指性,自然语言的自指性几乎是不可逃避的问题:“话一出口就有错。”这是因为语言的自指陷入的“不可证明”当中(语义不确定)。这就是人工智能为什么专注于“语言”,也是我们大脑思维研究的一个首要“课题”。
在WJU那个形式系统的游戏里其实已经有了提示,以自然语言当作例子。人与人之间的语言交流之所以可以具有效率,就是因为我们大脑对于“语义”的处理是模糊化的。不需要说得太明白,囫囵吞枣听过来,我们就已经了解到一个“大概意思”了(虽然当中可能还有误差),但是我们的交流已经建立了。这就是智能的一个重要体现的地方——计算机的“死板”也在这里表现出来了。虽然现在我们有《字典》、《词典》规范了语言,可是在实际运用当中,我们知道存在着大量的“误用”——最直观的就是“网络流行词”这个现象。(指桑骂槐之类……)
其实此时此刻,笔者在写这篇笔记的时候就有这样的感觉——,如果我们真的在对话中很死板的抠字眼来进行交流,这就让笔者联想起曾经看过的一个类似“寓言”的故事: 一只鸟看见树上爬上来一只“百足虫”,小鸟就称赞那只“百足虫”,它跑的真快。“百足虫”回答说因为自己是百足虫,有一百只脚,所以跑得很快。然后小鸟就问它,既然它有那么多脚,那么它走路的时候,是先迈哪只脚?“百足虫”一思考这个问题,发现自己不会走路了。 (说都不会话了……)
所以笔者发现,当自己试图用最明白的方式写笔记的时候,就发现自己不会写笔记了(因为之前有读者建议笔者可以用更加简单浅显的语言来写),所以也许还存在更加简单明了的表述方式,但是只能说笔者能力有限,干脆就这样写下来吧。
PS:需要提一句,这一章的内容想要看明白,可能还得回去看一看第九篇笔记,那一篇笔记详细介绍了TNT——印符数论的符号,以此为基础本章节的很多例子才能反应过来在说什么。
威拉德·范奥曼·蒯因(Willard Van Orman Quine,1908年6月25日-2000年12月25日),20世纪最有影响的美国哲学家、逻辑学家之一。出生于俄亥俄州阿克伦的富裕家庭,他的父亲是一位成功的实业家,而他的母亲则是任职教师。1926年蒯因考入欧柏林大学,1930年获得数学与哲学学士,1932年在哈佛大学取得哲学博士学位,毕业后留校任教。蒯因在哈佛大学任教时,是当时全校薪金最高的教职员。
蒯因应该属于“分析哲学家”,“分析哲学”在20世纪初期出现并达到顶峰,这是具有特定目的和方法的一种哲学研究,而到今天“分析哲学”这个概念已经演变成了当今研究哲学的一种“风格”或者“方法”。蒯因深受美国实用主义哲学的影响,他以彻底的经验主义作为反省哲学的出发点。他在哲学界最受争议的地方在于,蒯因对哲学研究结合了实用主义的精神,他提出了:摧毁第一哲学作为解释科学基础的传统认知,建立哲学-科学连续体的自然主义。尽管他是“哲学不是概念分析”的观点的主要支持者。
另外,他也是新基础集合论的奠基者。在数理逻辑中,新基础集合论(简称:NF)是公理化集合论的一种,由蒯因构想出来作为对《数学原理》中类型论的简化。蒯因1937年于《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF(此即其名称的由来)。
要说到GEB这一章节为什么会受蒯因的影响,还需要来看看他坚持的“分析哲学”是怎么回事,上面已经说了,分析哲学的内涵要分两种情况来看待:
1:作为研究课题的分析哲学。把“分析”作为哲学进步、和哲学方法的中心议题。此时的分析哲学家们普遍认为自然语言的表面形式具有隐藏的逻辑结构,因为忽视了隐藏的逻辑结构,所以我们常常被语言的表面所误导。通过分析这一方法,分析哲学家们认为可以解决哲学问题,或者对于不能解决的哲学问题,“分析”出它们实际上是因为语言形式的误导性造成的不可解。
分析这种方法之所以能够取得一部分哲学家的信任,很大程度上要归功于罗素和弗雷格在把数学缩减为逻辑学这一工作上取得的成就(《数学原理》),以及罗素的摹状词理论(这个理论是数理逻辑、语言哲学和分析哲学上的一个极重要的理论,被誉为分析哲学的典范。运用这个理论可以将日常语言中的描述语——摹状词进行改写,得到数理逻辑的形式,从而避免一些日常语言中可能出现的逻辑悖论。该理论的最早的阐述是罗素在1905年的一篇论文《论指称》中完成的。)
把“分析”作为哲学研究课题的分析哲学时期的代表人物有:卡尔纳普,乔治·爱德华·摩尔,前期的维特根斯坦等人。
2:作为研究方法的“分析哲学”,在当前这个概念则指的是一种研究哲学的风格,而不是研究课题(二者不可混淆)。分析哲学家们通常努力使论证清晰准确,同时较多地使用逻辑学作为工具。在职业和知识上,他们认为自己同科学家或者数学家更为接近,而不是人文学者——约等于逻辑学家。这里的分析哲学往往同“大陆哲学”或者“欧陆哲学”相互参照(哲学风格)。后者通常在风格上更具文学色彩,较少依赖形式逻辑学,也更关心实际的政治、文化问题,以及人类的处境和人生的意义等等。
蒯因对经验主义有这样一个描述:“贫瘠的输入与汹涌的输出”(meagre input and torrential output)。按照寻常的概念来说,当经验概念化之后,对于经验的描述会变得十分有限。蒯因认为古典经验主义和当代经验主义借由哲学和科学来区分,企图把人类总体认知和人类对现实的总体认知以经验作为基础的做法无法令人满意。所以蒯因认为这种追求第一哲学的传统需要重新得到审视。
于是他对于第一哲学的基础提出了猛烈的抨击,他基于自己的“真理理论”,反对将逻辑视作完全独立于自然语句的特殊存在。他在他重要著作《经验论的两个教条》中攻击了在分析命题和综合命题之间的差别,并提倡了一种形式的语义整体论;在另一本《语词和对象》里,他进一步的发展了这种立场并介入了著名的翻译的不明确性论题。 (这里就可以看出来蒯因的思路对于GEB的影响了,前面的章节当中,其实有点端倪。)
蒯恩基于二十世紀逻辑和语言哲学的大发展,于是他把对于传统哲学突破的关键放在语言的产生上,蒯恩认为语言的学习就是学习一套概念化系統。随着语言的出现和文字的出现,也就产生了越来越复杂的现象和概念。
蒯恩的哲学立场可以说是“彻底经验主义”,这不同于古典经验主义:
古典的“经验主义”否定了人拥有与生俱来的知识的观点或不用借由经验就可以获得的知识。值得注意的是,经验主义并不主张人们可以从实务中自动地取得知识。根据经验主义者的观点,经由感受到的经验,必须经过适当归纳或演绎,才能铸成知识。在哲学发展上,经验主义一直和理性主义作为对比。理性主义认为大部分的知识是来自感觉上的独立思考。但这种对比在今天来说已被视为过于简单化了。
彻底经验主义则认为:一般理性运用和实用的考虑是我們面對经验现象的唯二手段。只要能解释经验现象,就是可以接受的理论,不论是哲学还是科学,即便是被是为与经验无关的“一阶逻辑”(皮亚诺算术公理)亦然,因为接受一阶逻辑或某一个一阶系统都是出于实用的考虑。
蒯恩主张哲学——科学并没有严格的分界,他认为二者是一个连续统一体。蒯恩主张经验本身具有任何特殊地位,而是由我们当下最佳的科学理论的敘述所決定的,这是他与古典经验主义以及逻辑经验主义的一大差异。
数学就可以被看作是古典经验主义的一个反例,虽然在古典经验主义的框架内,把经验当作知识的来源确实可以对自然科学做出说明,但数学的经验则是来自于量化的法则,这很难被当做是来自于经验的。有理论认为,既然一切来自于经验(观念思想来自于感觉——印象),那么数学可以归类为经验之间的关系。可这个说法并不明确,数学远比一般的自然科学要明确的多,又怎么可能建立在这么模糊的基础之上呢?诸如此类哲学试图寻找科学基础的例子还有很多。
所以蒯因批评传统哲学企图替科学寻找基础的计是划彻底失败,他则主张一种自然主义形式的知识论研究途径来代替前者。在他的理论中欢迎利用经验科学的资料和数据来理解经验知识的概念。只要“科学必须以优先于科学的东西来证明”的这种错觉被放弃,引进科研成果来达到证实科学本身的做法,就不用担心会因此产生循环矛盾。(陷入自指:科学证明科学自身。)
蒯因饱受争议的另一个重要的内容将会在后面的部分详细讨论,这里先提一句。前面说到过,蒯因提倡了一种形式的语义整体论,所以他提出了自己著名的反对“分析-综合二分法”的理论。这个反对使得他的理论成为最离经叛道,但同时也最富有启发性的理论。
蒯因主要反对的是另一位分析哲学的代表人物,维也纳学派领袖:鲁道夫·卡尔纳普。他的认识论基础主义是蒯因的主要批评对象。另外卡尔纳普的语言架构理论(区分内部问题和外部问题的主张——语言主义)也是蒯因的主要批评对象。因为卡尔纳普的语言主义通常也主张所谓的“分析—综合”语句的区分,而蒯恩认为这种区分的说法本身,不足以满足经验主义的经验测试的要求。(关于这种区分方法会在后面详细论述)
蒯因的系统性哲学理论是二十世纪分析哲学的一个重大发展成果。五十年代开始,很多哲学家试图击溃蒯恩的几个主要理论,试图恢复传统哲学的昔日荣光。但是他们的努力却很难见效。因为蒯恩的理论重点在于他对于哲学传统的反省和思考,也许他的结论未必是正确的,但是也确实是极具启发性的。
蒯因在他的著名学术著作《经验论的两个教条》最后这样说道:
每个人都拥有一份科学遗产,加上感觉刺激持续不断地涌现;引导他如何拗曲他的科学遗产以符合持续的感官刺激,如此的考虑只要是理性的,就是实用的。
这里我们就已经可以看出来了,蒯因对于语言的概念理论,确实对GEB具有启发性。之前也说过,对于思维和智能的研究,语言就是最重要的一块。目前可以说语言就是不完全形式化的思维,所以能否掌握其生成规律,这对能否一窥“智能”的奥秘绝对是非常重要的一块。
一如既往的从对话开始,这一次乌龟和阿基里斯一块儿去参观了一家麦片厂。(看来乌龟已经被警察放出来了,哥俩关系还不错)其实这里的对话知识内容上的联系,在剧情上没有太大的关联,所以不用问乌龟被阿基里斯出卖了之后为什么还能和好——但说不定下一次会提到一句也有可能。
乌龟和阿基里斯基本上一碰面就聊个不停,估计这次参观麦片厂,也是全程聊天。然后阿基里斯就说到自己前段时间接到了一个匿名电话。那个匿名电话说了两遍让人觉得摸不着头脑的话之后就挂断了。乌龟问阿基里斯,那个电话里说了什么?
阿基里斯说,那个电话里嚷嚷了这样两句话:“ 放在其引文形式后面得到假句子!放在其引文形式后面得到假句子! ”乌龟和阿基里斯都对这句话摸不着头头脑。但是乌龟说,可能表面上的疯癫掩盖了下面什么有意义的东西吧。
正巧他们说着说着就来到了一片奇怪的庭院——艾舍尔的画中世界。这个奇怪的庭院是艾舍尔的画作《上和下》,这两位在讲述关于“递归”内容的时候,就近如果艾舍尔的绘画世界当中,这次又来了。这个画中世界有两个庭院,一个从下往上,一个从上往下,而中间是两个不同视角庭院的结合处——下面庭院的天花板,是上面庭院的地板,但是这是来自于两个不同视角的。所以有些楼梯,要想登高一层,就必须爬到楼梯的反面去,阿基里斯带着乌龟游览了这个神奇的地方。他们一边走一边聊天。
于是很显然的,这个动不动就要爬到反面,颠倒上下的世界里,乌龟走晕了。走了几个楼梯之后,乌龟就问阿基里斯,他们现在到底是沿着楼梯往下走?还是沿着楼梯往上走?
阿基里斯的回答是:“ 同刚才的方向一样。在你那面是下楼梯,在我这面就是上楼梯。 ”
乌龟就问他:“ 你是不是想说我下楼梯也可以到达塔楼顶? ”
阿基里斯于是就和乌龟试了起来,阿基里斯在一面朝上的楼梯走,乌龟在另一面朝下的楼梯走,他们同时沿着螺旋型的楼梯绕了起来,不久他们都走到了各自楼梯的尽头。走到了尽头之后,阿基里斯伸手,把乌龟从反面一把拉了上来,他们来到了塔楼的最顶端一块看美景。
经过这个正反面上下楼梯的经历之后,乌龟突然明白了那个匿名电话里说的那句:“放在其引文形式后面”这句话里,似乎有什么深意。阿基里斯也体会到了。于是他们就这个问题开始讨论开来,那么首先最直白的,乌龟问阿基里斯,顺着这句话下去,什么东西被放在引文后面呢?
阿基里斯说:“ 我觉得我能想象出毛主席步入一间宴会厅的情景,那里悬挂着一幅大横幅,上面写着他著作的引文。这样就有了站在其引文后面的毛主席了。 ”(书里的阿基里斯肯定是一个很有政治倾向的家伙,他动不动就喜欢做这种比喻,前面也出现过——和食蚁兽聊蚂蚁的时候,比喻蚁群是共产主义……)
乌龟把阿基里斯给拉了回来:“…… 不过假定我们把‘放在……后面’的意思限制在仅指一些文字和纸上的先后次序,而不是这种煞费苦心地想出来的步入宴会厅的情景。 ”那么阿基里斯首先就要搞清楚,这个所谓的“引文”是什么意思?
乌龟给他做出了解释:“ 当你讨论一个词或一个短语时,根据惯例,要把它放在一对引号之内,比如,我们可以说:
这里,我把‘哲学家’放在引号之内,以表明我们说的是‘哲学家’这个词,而不是某个有血有肉的哲学家本人。这就是所谓的‘使用——谈论之别’。 ”(分析——综合命题之别)
那么我是在‘使用’这个词,从而在你心目中制造出一个目光睿智的哲人揣着个鼓鼓囊囊的大钱包的形象。可是当我把这个词——或随便什么词——加上引号时,我就抽去了它的含义和内涵,只剩下纸上的一些符号,或者说只剩下几个音节。这就叫‘谈论’。除了铅字的形状以外,这个词的其它特点都无足轻重——它可能有的任何涵义都被抽掉了。 ”
阿基里斯比喻说这感觉是不是就像把小提琴当作苍蝇拍来使用,把除了小提琴是固体之外的所有属性全部抽离了。
乌龟说:“ 这倒是对使用——谈论之别的一个合理推广,即使有点不太正统。不过我现在要你想想一件事物放在它自身的引文形式后面的现象。 ”阿基里斯于是顺着乌龟的思路,想了几个句子,还造了几句看起来没有任何涵义的语句。阿基里斯没有看出来这其中有什么意义,说这是一个糟糕透顶的文字游戏。
乌龟倒不这么觉得:“ 我不这么想。依我看,这到是个重要的素材。事实上,这种把一个短语放在其引文形式后面的办法极其重要,以至于我觉得该给它起个名字才好。 ”乌龟于是拿“蒯恩”的名字谐音起了一个叫:“蒯恩一个短语”的名字。(乌龟用的这两个谐音字显示不出来,所以直接用原本哲学家的名字了)
乌龟也确实承认,这个思路来自于威拉德·范奥曼·蒯因(蒯恩)。简单来说乌龟和阿基里斯都发现了,这个方式似乎让语句陷入了自指。——引号后面的语句是描述引号内语句的语句。(当中乌龟和阿基里斯找了很多句子来当例子。)假设引号内的句子被叫做——句子K,后面一句描述引号内语句的句子叫做——句子J,阿基里斯就有了如下总结:
“ 由于句子K总是句子J的论题,这就有了一个圈,所有J就反过来指向自己。不过你看到了,自指乃是一种巧合。而通常的情形是句子J与句子K彼此完全不同,但随着对句子J中空位的恰当选择,蒯恩就能给你变出这种戏法来。 ”
乌龟立刻就明白了 ,然后给了一个例子: “有六个字组成”由六个字组成 。说到这里他们突然明白那个电话说的内容到底是什么意思了: “ 放在其引文形式后面得到假句子!”放在其引文形式后面得到假句子! (注意引号)。
阿基里斯明白之后火冒三丈:“ 它提让我难受了。它和前面的那些例子不一样,我这会弄不清它到底是真句子还是假句子。我越是使劲想就越理不清楚。我的头都晕了。我真想知道编出这种东西的人得了哪种精神病,居然夜里那它去折磨无辜的人。 ”
说到这里,阿基里斯和乌龟解开了这个匿名电话的玄机,他们也不知不觉地从塔楼顶端回到了地面(注意画面中的特殊地方)他们回到了一开始的院子里,然后互相道别。
句子陷入自指悖论的情况其实在前面就出来过了,用这一篇的形式来举个例子:
这种绕来绕去的逻辑似乎太累了,不如先来谈谈音乐。这也可以当成“语言”的一个具体例子来反过来观照上面这些论述。我们知道当我们在说一个“专有名词”的时候,这个词不仅仅包含着那个具体的事物,还包括这事物与这个词,以及当中生成的历史等等所有的信息都包含其中。(这就是语言和现实世界的关联——一种关系极其复杂,包含了极简和极繁复的“同构”关系。)
咏叹调(Aria),又译作抒情调,意大利文原意为“空气”。Aria一字最早出现在14世纪,原指歌唱艺人或镀金工匠的作风与风格。后来渐渐专用于音乐方面。而最早Aria一词的含义甚至还可以追溯到欧洲古代十四行诗的配乐和一些管弦纯音乐。
宣叙调(Recitativo),又译朗诵调。原指歌剧、清唱剧、康塔塔等大型声乐中类似朗诵的曲调,速度自由,旋律与节奏是依照言语自然的强弱,形成简单的朗诵或说话似的曲调,换言之是以歌唱方式说话。与咏叹调相对,宣叙调着重叙事,音乐只是附属性质。宣叙调差不多是与歌剧同时出现的声乐形式,常置于咏叹调之前,具有"引子"的作用。宣叙调必须依附于歌剧情节,否则无法拿出来单独演唱。
宣叙调最初虽然是为了取代剧中人物对白之用,但仍有简单的旋律变化,而自18世纪开始出现了干燥的宣叙调(secco),缺乏抒情性,词句几乎是在同一音上作快速吐字的节奏变化,又称为"说话式的宣叙调"(parlando)。
歌剧中的咏叹调数目是最多的,但清唱剧和大合唱中也都有为数不少的咏叹调。除此之外,还有室内康塔塔(一种包括独唱、重唱、合唱的声乐套曲,一般包含多个乐章,大都有管弦乐伴奏)中的对称声乐也归类其中。
最初,咏叹调的模式是没有重复的,但到后来咏叹调逐渐发展出了许多通用的类型。它们是为了发挥歌唱者的才能并使作品具有对比而设计的,结构也逐渐变得程式化。而自17世纪开始,开始出现了以ABA模式重复的三段式咏叹调,称为“返始咏叹调”。论歌剧还是清唱剧,歌唱者都习惯于把重复的段落加以即兴装饰。现代的习惯做法是缩短重复段落,代之以器乐引子,以便节省时间。(但是这种类型的咏叹调,使得乐曲和歌词中间产生了冲突,导致了乐曲的不对称性,所以对于这类型的咏叹调运用,音乐界一直存在争论,一直到瓦格纳的格局改革,引入了新的概念。)
此后,咏叹调渐渐开始在歌剧中占有愈来愈多的分量,并出现更多精细的分类。由于听众逐渐对宣叙调感到乏味无聊,所以18世纪开始,咏叹调逐渐统治歌剧。到了19世纪中期以后的歌剧需要对白时,大都以实际对话方式演出,愈来愈少将对白写成宣叙调。很多歌剧都成了多个咏叹调的集合(对白就是直接念台词),宣叙调的空间愈来愈少。在另一部分歌剧,如理查德·瓦格纳的“乐剧”理念诞生之后(摒弃定型声乐曲),分曲几乎完全消失,而宣叙调与咏叹调之间就没有了明显的区分。
另外,还存在一种界于两者之间的“咏叙调”(arioso),比宣叙调要多一些音乐性。这个词原本的意思是“如咏叹调”。 这个词具有三重含义:其一是指一种要求在处理上比正式宣叙调的朗诵风格更富于歌唱性的宣叙调。其二则是指抒情风格的短小声乐独唱曲。其三则是指与咏叙调风格近似的器乐曲。
于是我们看到了,这个词的意义随着历史的演变也跟着演变了。现在咏叹调被狭义的理解为专指管弦乐队伴奏的独唱曲。而实际上我们看到“咏叹调”/“宣叙调”这些词除了指一种声乐曲外,也包含了另一重器乐曲意思——歌唱性的器乐作品也可以被叫做“咏叹调”(巴赫的《G弦上的咏叹调》。)自古典主义音乐晚期,部分作曲家如莫扎特和贝多芬开始创作“音乐会咏叹调”(Concert Aria),这些咏叹调都具有独立主题,(独立作品,不属于剧目之下),因此有独立的作品编号。
记得在之前第十章节部分(上半部的最后一章节),侯世达提到了关于他对“禅宗”的看法。他提到了“禅宗”的主张是反对“二元论”。这里的二元论意思是指——对种种概念物质进行划分。(实际上用还原论来概括会比较合适:认为复杂的系统、事务、现象可以通过将其化解为各部分之组合的方法,加以理解和描述。)
而实际上侯世达觉得禅宗的主张是一种逆水行舟般的努力,他会这么觉得不是没有道理的。我们在形而下的世界,几乎无处不受到这种“划分”的影响。比如上面“宣叙调”/“咏叹调”的划分可以算一个例子(你对不同的具体事物,进行了抽象概念上的划分——一旦给出定义,这种划分就产生了)。
即使是最接近“抽象”的语言,似乎也逃不出这种形式的规范——这里就得提到命题分类的概念了。(上面说过,蒯因是反对这种概念区分的。)
分析-综合区别(分析-综合二分法)是指分析真理与综合性事实之间的区别。这是种概念上的区别主要用在哲学上,以区别出两类命题:“分析命题”及“综合命题”。在关于命题演算系统的时候我们说过,命题是闭判断的语义,所以命题不是真的就是假的。
命题可依分析-综合、必然-偶然、先验-后验三大特性区分。这三大特性的区分,分别来自于三个不同领域:分析-综合是来自语义学的区分、必然-偶然是来自形而上学的区分、先验-后验是来自知识论的区分。传统哲学又将这三类区分融合起来认为命题或为分析的、必然的、且先验的,或为综合的、偶然的、且后验的,但这些观点近来受到了一定程度的挑战。(剻因是挑战者中的代表)
分析-综合命题的区分,在于两类命题真值的判断不同:分析命题凭借著自身的意义为真,而综合命题则是依其相关于现实世界的意义为真。分析命题的判断是纯粹基于语义;而综合命题的判断则并非纯粹基于语义。
必然-偶然命题的区分,在于前者要求所有可能的情况为判断依据,后者则以现实世界为依据。这两类命题都涉及形而上和形而下作为判断依据,必然命题需要以理性的推理和逻辑的判断作为依据(基本上只有真命题),后者则以感知作为判断依据。
先验-后验命题的区分:我们知道西方哲学家将知识分为先验与后验。先验意味着仅凭推理得到的知识(先于经验观察),而不受直接或间接经验的影响。后验指其他种类的知识,也就是知识的得来和证实需要借助经验(后于经验观察),也被称作经验性知识。(这里经验通常指通过感官对于世界的直接观察)基于这样的分类,我们就知道先验命题就是不须借助对实体世界的观察与经验即可证明的命题,后验命题则是需要借由观察与经验才能证明的命题。
命题的分类最早来自于康德的哲学,他是第一个使用“分析”和“综合”这两个词来区别命题类型的人。康德在《纯粹理性批判》的导论中介绍了分析-综合区别。还提出了另一种区别,可将命题区别成先验和后验命题。
书中,康德将其注意限缩在主谓肯定句上,且定义“分析命题”及“综合命题”如下:
分析命题:一个其谓词概念会包含在主词概念中的命题。
综合命题:一个其谓词概念不会包含在主词概念中的命题。
分析命题是主谓肯定句,它的谓词概念都包含于主词概念中。综合命题和分析命题相同,都是主谓肯定句。不过,综合命题的主词概念都没有包含谓词概念。
先验命题:判断真伪不需依赖经验的命题。此外,此类命题可以被经验验证,但不基于经验。因此,此类命题在逻辑上是必然的。
后验命题:判断真伪需依赖经验的命题。此类命题不只可被经验验证,也基于经验。因此,此类命题在逻辑上是偶然的。
分析-综合区别和先验-后验区别在一起可区分出四个类型的命题:
(1)分析先验、(2)综合先验、(3)分析后验、(4)综合后验
康德认为第三种类型是自相矛盾的,所以他只讨论三个类型,做为他的认识论架构的组成部分。不过,也有哲学家接受第三种类型,并认为分析后验不只是一个有效的认识论分类,还是四个类型中对哲学最重要的一种类型。
在《纯粹理性批判》的导论中,康德认为要理解认识分析命题是容易的。康德主张,要知道一个分析命题并不需要去参照经验,只需要检视主词,并“依据矛盾律,自主词的概念中抽绎所需的谓词”。在分析命题里,谓词的概念是包含在主词的概念里的。因此,要知道一个分析命题是否为真,只需要检视主词的概念。若可找到谓词包含在主词之中,此一句子即为真。
因此所有分析命题都是先验的,即不存在一个后验分析的命题;而且理解认识分析命题是可能的这点是没问题的,只需要参照主词的概念本身来决定命题是否为真。
在排除分析后验命题的可能性,以及说明了要如何认识分析先验命题之后,康德也解释了要如何认识综合后验命题,因此只剩下是否存在如何认识综合先验命题的方法。康德认为这个问题是非常重要的,因为所有重要的形而上学知识都是综合先验的命题。若决定综合先验命题是否为真是不可能的,形而上学要做为一个学科也将是不可能的。《纯粹理性批判》的其他部分都是在检视综合先验命题是否存在,以及是否存在一个认识的方法。
20世纪的时候,传统哲学对于命题的这种分类方式已经开始受到了质疑,上面介绍的蒯因就是其中的代表人物之一。但这个问题目前依然还是处在有争议的状态,所以这里也就没有办法再说更多的了。但可以肯定的是,侯世达在写作GEB的时候,肯定都参考了大量这类型的著作,因为这些都是他后面将要论述的内容“哥德尔的自指性在语言中的展现”的基础。
“ 本章的标题套用了哥德尔1931年那篇著名论文的标题——只是把‘《数学原理》’换成了‘TNT’。哥德尔的文章是一篇技术性的论文,致力于他那个精密严格的证明,本章则直观得多。我在此所要强调的是属于他那个证明的核心的两个关键想法。首先,是一项深刻的发现:某些TNT符号串能解释成在讨论另一些TNT符号串,简言之,作为一种语言,TNT有能力‘自省’,或者说是自我审视。这是哥德尔配数法的产物。第二个关键想法是:这种自我审视的性质可以全部集中于一个单个的符号串,于是这个符号串所注视的唯一焦点就是它自己了。本质上,这种‘聚焦手法’可以上溯到康托尔的对角线方法。
依我看,谁要是有意于深刻地了解哥德尔的证明,就必须得认识到,从根本上说,这个证明就是由这两个主要想法融合而成的。单独来看,两个都是妙举,揉到一起就是天才的杰作了。不过若是一定要让我做个选择,说哪一个想法更为深刻的话,我会毫不犹豫地选择第一个——符号演算系统的哥德尔配数想法,因为这一想法关系到什么是意义、什么是指称的整个观念。这是个远远超出了数理逻辑范围的想法。在数理逻辑中,康托尔的手法虽然有十分丰富的数学结果,却与实际生活很少关联。 ”
需要重新提一句,哥德尔不完备性定理定理实际上是有两条。当然也可以把这两条定理看成是一条不完备性定理的两个证明步骤(如GEB书里所说)。书中这部分内容正好可以和两条定理对上号,不过不单单只是在看哥德尔不完备性定理的证明本身,还有通过这个证明来观察形式系统中“自指”这个问题。——前面也说过哥德尔对于不完备性定理的研究也开始于“自指”。(以康托尔的数学成果为基础)
第一条定理指出:任何兼容的形式系统,只要蕴涵皮亚诺算术公理,就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题,因此通过推演不能得到所有真命题(即体系是不完备的)。
把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后,哥德尔证明了第二条定理。该定理指出:
任何逻辑自洽的形式系统,只要蕴涵皮亚诺算术公理,它就不能用于证明它本身的兼容性。
不完备性定理是形式逻辑中的定理,但是在用通俗的说法讲述的时候,容易被错误表述以及误用。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理,但实际上并不是。
这里再引用一下维基百科上关于哥德尔的证明思路,这个证明思路的解析可以帮助看明白侯世达在下面举出的TNT系统的例子:
(1) 只要证明了初等算数理论Π是不完全的,采用相同的方法就可以证明任何包含Π的形式理论都是不完全的
(2)证明Π的不完全性的关键是在于 构造出初等算数语言Ľ中的一个含义为真的语句Α ,证明如果Α能被证明则将推出矛盾
(3) 包含初等算数理论的意义是它包含所有正整数(无穷元素)。而命题和证明都可以被映射到正整数。 另一方面,它还支持归纳集,即及由一些初始元素及新元素构成的集合,而新元素都是由初始元素归纳(运算)而得的。 形式理论由公理及定理构成,定理可以看作是公理及已知定理的归纳,因而形式理论本身可以表示成以某些正整数为初始元素的某种归纳集。这使得可证性变为算术命题
(4) 所构造的语句Α类似于“说谎者悖论”(即“这句话在说谎”),但Α是“本语句不可证”。 对这一形式化的Α如果假设Α可证将推出矛盾,但假设Α不可证却不能推出矛盾,所以Α不是一个悖论。而Α的含义是它不可证,而它又被证明是不可证的,因此Α是个不可证的真命题
(5)Ľ不完全,那么包含Ľ的Π不完全,那么包含Π的形式系统不完全。得证。 ”
下面将要提到的“证明对”概念,和证明思路的第四步正好可以对应上。另外就是虽然之前就提过TNT系统了,但是说到这里可能有的人有些忘了。TNT系统是“印符数论”系统的字母缩写,它是一种用来描述自然数的形式公理系统,是侯世达发明的。
1·形式系统的“自指”——“证明对”概念(哥德尔第一不完备性定理)
这里要先从“证明对”这个概念开始,这部分要讲解例子的话还要涉及到之前说过的两个概念,第一个是WJU形式系统,这个是作为例子,这个系统的推导规则在第一章节的论述的时候有详细说过,现在照旧。另一个是哥德尔配数,这个例子也在第九章节详细说过(说TNT系统和命题演算的时候)。
始终需要记住的是,我们在做的事情就是把复杂的语言叙述,转换成符号化的“公式”。通过形式化的方式把我们想要说的抽象概念具体表现出来。所以始终记得这个思路,那些看起来很复杂的例子也就明白是在干什么了。
“ 第九章曾给出过一个相当精细的概念,说明哥德尔同构是关于什么的,现在则要描述一个数学概念,它使我们能把诸如‘符号串0=0是TNT的定理’这类陈述翻译成数论称述。这得从‘证明对’谈起。一个证明对是一对以某种特殊方式结合在一起的自然数。 ”
记得之前有对WJU系统进行过哥德尔配数:W—3、U—0、J—1。那么符号串“WUJ”就可以转换成自然数“301”书中就给出了定义:
“ 两个自然数m和n形成一个WJU证明对,当且仅当m是WJU系统的一个推导的哥德尔数,而这个推导的最末一行是哥德尔数为n的符号串。 ”要看懂书中的例子,还得记得WJU系统的推导规则,这是在之前就说过的,配合那个推导规则来看,就知道这里的哥德尔配数对应是怎么来的了:
规则一:如果符号串结尾是J,则可以在其后面再加上一个U。
规则二:如果有Wx,那么可以得出Wxx。(WU可以得WUU,继续可以获得WUUUU)
规则三:如果JJJ出现在符号串里,那么可以用U 代替掉JJJ。
“ 让我们看两个WJU证明对的例子。第一个,令m=3131131111301,n=301.这样一对m和n的值确实构成WJU证明对,因为m是下面的WJU推导的哥德尔数:WJ—WJJ—WJJJJ—WUJ
其中最后一行WUJ的哥德尔数为301,也就是n。与此对照,令m=31311311130及n=30,它们为什么就不构成WJU证明对呢?为了看清答案,我们写出以这个m为码的所谓推导:WJ—WJJ—WJJJ—WU。这个所谓的推到中有一部无效!……也就是从WJJ到WJJJ。WJU系统中没有一条推导规则能产生这样一个形式步骤。相应地——这是至关重要的——也就没有一条算术的推导规则能使我们从311到3111。有了第九章的讨论,这大概是一项不足称道的考察,但却是哥德尔同构的核心所在: 我们在任何形式系统中做的事情都有一个与之平行的算术处理。 ”
TNT系统的“证明对”查找和WJU系统基本一样,只不过是把推导规则从WJU系统换成TNT系统的。通过两个系统证明一个事实:“是证明对”这个性质是原始递归数论的性质(上一篇笔记里着重说过的概念)。所以这个性质的形式系统可以被BlooP搜索程序来测试。
另一个情况是关于:“是定理数”这个性质,简单来说就是当m能和n形成“证明对”的时候,n就“是定理数”。通过上面形式系统的这个例子我们知道是否“是证明对”的性质可以很快被测出来,但是隔了一个的“是定理数”性质就不行了,要把n确定下来,就得把所有配套的m全都过一遍,这就可能变成无穷搜索了。
“ 问题的关键就在于,一个系统之中既有使符号串变长的规则,也有使符号串变短的规则。两种规则的并存导致了某种程度的不可预言性。 ”直白来说,这两个问题看似有关联,但其实不是一个类型的问题。“是证明对”这个性质的证明是“原始递归”的,另一个“是定理数”的性质证明则是“递归或μ-递归”的(μ算子——无界查找算子——简单说,存在结果,但搜索过程不可知,这里的具体概念前一篇笔记里说过)。
“ 上述两个基本事实对任何形式系统都成立。形式系统的本质就在于此:它总能用一种预先知道能有结局的方式,说清一个给定的符号串序列是否够整一个证明——而这一切都能移植到对应的算术概念之中。 ”
TNT系统是可以包含WJU系统的,因为TNT系统强度很大。这在第八章里详细描述过,所以对于“WJU证明对”的描述句子,可以被翻译成TNT语句(TNT符号串)。而前面说过了,这个描述句子也可以平移给TNT系统:"WJU证明对"的描述可以被替换成"TNT证明对"的描述,因为这个描述对所有形式系统都成立。
“ 我们把体现WJU证明对的公式(其存在性由基本事实2保证)缩写为:
由于它涉及两个数的性质,所以得用含两个自由变元的公式来体现。(要注意:本章中我们总是使用简朴TNT——因此得小心区分变元a,a’,a‘’‘。)为了断言’WU是WJU系统的定理‘,我们得做一个与之同构的陈述’30是WJU系统的定理数‘,然后再把它翻译成TNT记号…… ”
而对于“TNT证明对”的描述又可以被翻译成TNT系统内的符号串——即: 在系统内引用系统自己。
而通过上面的定义我们知道:通过“构成证明对”的性质,我们就可以确定那个“可能搜索无界”的性质:“是定理数”——因为m和n能构成“证明对”,所以n就是“定理数”。那这个描述也就被包含在了TNT系统里面:
“ 由此我们看到有那么一种方法,它不但可以讨论TNT证明对这样的原始递归概念,而且也能谈论与之有关而又不那么靠得住的‘TNT定理数’这一概念。 ”
这里还可以再看看哥德尔第一不完备定理的证明要点的内容,来对应上述内容:这里作者像要强调的一点在于,哥德尔第一证明的最重要的地方在于他为了证明“不可证”而构造了自指。
要充实对证明要点的描述,主要的问题在于: 为了构造相当于“p是不可证明的”这样的命题p,p?就必须包含有自身的引用,而这很容易陷入无穷循环。 将要介绍的哥德尔巧妙的把戏,后来被艾伦·图灵用于解决可判定性问题。
首先,每个公式或者说可形式化的命题都被我们的系统赋予一个数,称为哥德尔数,例如,假设形式系统有100个符号,用0至99对这些符号进行编码,这样,一个命题的公式就是一个位数为公式长度的100进制的整数,公式可以有不同的写法,因此可以对应多个数,但每一个数或者不对应任何公式,如果对应某个公式,则只对应唯一的一个公式,可能有多个数对应同一个公式。因为系统包含所有正整数,因此也就足以表述公式的概念了。一个证明可以表示为一个有穷的命题序列,例如将推理过程表示为命题序列。用同样的原理也可以将一个证明表示为一个正整数。当然, 表示一个命题的正整数和表示一个证明的正整数具有不同的含义,因此不能混在一起。
像F(x)这样的公式含有一个自由变量x,它们称为命题形式。一旦x被一个特定的数代替,它就马上变成一个真正的特定命题,于是它要么是在系统中可证明的,要么不。命题形式自身并不是命题,因此不能被证明也不能被否证。但每一个命题形式F(x)都有一个哥德尔数,可用G(F)表示。自由变量的选G(F)的赋值无关。
通过小心地分析系统的公理和推理规则,可以写下一个命题形式P(x),它表示x是系统中一个可以证明的命题的哥德尔数。形式描述如下:如果x是一个可证明命题对应的哥德尔数,P(x)就可被证明,而其否定~P(x)则不能。(尽管这作为一个证明要点来说已经足够,但在技术上却不太严格。请参见哥德尔和罗素的有关论文,关键字是“omega-consistency”。)
现在,哥德尔的把戏来了: 一个命题形式F(x)称为不可自证的,当且仅当把命题形式F?的哥德尔数G(F)代入F中所得的命题F(G(F))是不可证明的。这个定义可以形式化,于是可以构造一个命题形式SU(z),表示z是某个不可自证命题形式的哥德尔数。SU(z)的形式描述如下:
对某个命题形式F(x)有z=G(F),而且设y是命题F(G(F))的哥德尔数,则有~P(y)成立。
直观上,当问到p是否为真的时候,我们是在问:“不可自证这个特性本身是不可自证的吗?”这很容易让人联想到理发师悖论,那个理发师只替那些不替自己理发的人理发:他替自己理发吗?
如果𝑝可以证明,于是SU(G(SU))为真,根据SU的定义,z= G(SU)就是某个不可自证命题形式的哥德尔数。于是SU就是不可自证的,根据不可自证的定义,SU(G(SU))是不可证明的。这一矛盾说明p?是不可证明的。
如果p=SU(G(SU))的否定是可以证明的,则根据SU的定义,z=G(SU)就不是不可自证命题形式的哥德尔数。这意味着SU不是不可自证的。根据不可自证的定义,我们断定SU(G(SU))是可以证明的,同样得到矛盾。这说明𝑝的否定也是不可证明的。
上面词条内容中划线的部分,正好可以和GEB书中的内容对应上。而要反复强调的是,哥德尔在证明中利用了系统“自指”来证明了系统的“不完备性”。
但GEB这一章则是借着哥德尔的证明反过来强调足够强的系统是具有“自省”能力的(能符合不完备性定理的系统必须能包含皮亚诺算术公理——也就是系统足够强,在这样的强度下系统才有能力能“自省”——虽然这最后导致了系统自己的不完备)。
2·形式系统的“自省”——算术“蒯恩”(哥德尔第二不完备性定理)
“ 通过上面的讨论,我们已经能够看清TNT是怎样对‘是否TNT定理’这一概念进行‘反省’的了。这是哥德尔证明第一部分的精华。我们现在打算着手讨论证明的第二个主要想法,方法是构想一个概念,使我们能把这种反省集中进一个单个句子。要做到这一点,我们先得看看当你用一个简单的方法从结构上修改某个公式时,该公式的哥德尔数会发生什么变化。其实,我们要考虑的只是这样一种特殊的修改:
书里用相当复杂的方式举出了TNT的例子,然后用到了前面对话里乌龟想出来的算术“蒯恩”方法——简而言之就是:用进行了哥德尔配数的TNT系统构筑一个自指句子“G”。
前面说过,要进行哥德尔配数,是要对符号串里的每一个符号都进行配数。那么自由变元是什么?就是上面说到的“定理数”,那些数字在系统当中并不是固定的,我们只是举出了几个例子,而我们实际上知道,在TNT系统中可以构成“证明对”的自然数不止一对,而是有很多。(这两个数字正好在形式系统推导过程的一头一尾,遥相呼应。上面已经说得很明白了。)
公式 a=S0 进行哥德尔配数之后,获得哥德尔数: 262,111,123,666 。看起来好像没有头绪,但其实很简单——两边是对的上号的“逐个符号进行对应”:
再来看几个例子,就很容易明白了,以上面的对应关系再来看几个公式的哥德尔数对应:
SS0=SS0————————123,123,666,111,123,123,666
书里用哥德尔数逐步调用和运算形式系统的步骤之繁琐,估计很多人就看不下去了,或者直接跳过。而实际上这些步骤,要是替换成计算机来做,就必须这样一步一步的来完成。。这个是挺有意思的。另外之所以要这么繁琐,也是为了保证形式系统证明的严谨。
会过去看上面的例子,之所以要用这么复杂的替换方式,实际上是为了能让所有的问题变成算术运算过程:把命题——“是证明对”、“是定理数”变成符号“SS0”、“a”,然后符号就可以构筑出上面的例子进行运作(左边的),但这还不够,于是进一步进行哥德尔配数,把这些符号串都变成自然数,于是自然数就是可以进行算术运算的了。
比如通过书里的描述,我们知道“证明对”和“定理数”这两个概念之间是挂钩的,那么书里有一个例子,就是: a=S0 (这里只给了一个自由变元:这个公式可以理解为“定理数”需要靠“证明对”当中的另一个数字,加上推导规则来确定)
那么上面这个公式进行哥德尔配数,就得到了: 262,111,123,666. (这种要是看习惯了,就很容易反应过来,因为你知道符号和“三位数”的对应关系了)那么回到哥德尔第二不完备定理的证明上来。
“ 把一个公式自身的哥德尔数带入这个公式似乎是个怪异但却意义不大的想法。者与另一个怪异但却似乎意义不大的想法颇为相似:在《G弦上的咏叹调》上作‘蒯恩’。蒯恩显示出了一种出乎意料的价值:它表明了一种制造自指句子的新方法。第一次接触了各式各样蒯恩型的自指句子之后,它就会暗暗尾随你——而一旦真的理解了这一原则,你就禁不住要赞叹它是如此的简单而又生机勃勃。蒯恩的算术版本——姑且称之为‘算术蒯恩’——能使我们造出一个‘谈论自身’的TNT句子。 ”
这个谈论自身的TNT句子,就是上面这个例子:a=SO把它再一次带入进自身。(这里提醒一句在TNT当中符号“S”是表示什么的:比如“SSS0”代表的是数字“3”。"SS0"代表的就是数字“2”,以此类推)
继续,把这个公式的哥德尔数带入公式自身,就成了: 262,111,123,666=S0 但是这样的表示是不一致的,应该统一使用印符数论的符号,那么按照括号里的提示,这个公式就应该表示成:
“262,111,123,666个S”0=S0 得出结果:262,111,123,666等于1这和明显是个假命题。但反过来用 ~a=S0 来进行同样的步骤则可以得到一个真命题:“262,111,123,666不等于1”。(印符数论中“~”代表否定)简而言之:这个例子是为了表明,“算术蒯恩”这个操作在TNT内部是完全可行的。
再进一步的描述,其实早在第九篇笔记里就详细说过了。进行了哥德尔配数的TNT系统定理放进TNT内部进行运算,结果得出了“不可证”。
“ 在第九章,我们勾勒过这个惊人的构造的主要结果——TNT的不完全性。重申一下那个论证:
G是不是TNT定理呢?如果是,它说的就一定是一句真理。可实际上G在说什么呢?G就在说它自己的非定理性。于是从它是定理就能得出它不是定理——矛盾。
要是G不是定理又如何呢?这倒可以接受,此时不会导出矛盾。不过G的非定理性正是G所断定的——因而G讲的是真理,而G有不是定理,所以就存在(至少)一个不是TNT定理的真理。 ”
令𝑝是如上构造的不确定命题,且假定系统的兼容性可以在系统内部证明。我们已经看到,如果系统是兼容的,则𝑝是不可自证的。这个证明过程可以在系统内部形式化,因此命题“𝑝是不可证明的”或者“~𝑃(𝑝)”可以在系统内证明。
但是最后一个命题就等价于𝑝自己(而且这种等价性可以在系统内部证明),从而𝑝就可以在系统内证明。这一矛盾说明系统是不兼容的。
哥德尔不完备性定理的第二部分证明有点像是第一部分的“推广”,而书中这么详细的进行解释,其实不单单只是为了说明不完备性定理对于强力形式系统的作用:
“ 通过一个冗长但很容易的推理可以证明——只要TNT一致——这个用TNT符号写出的一致性誓言不是个TNT定理。所以说,当TNT表示一些事物时,它的反省能力很强,但要让它证明这些事物,其反省能力就很差劲了。 如果把这一结果借过来用于人的自我认识问题,恐怕极易引起争论。 ”
“不完备”的证明,肯定也会激发起反对的意见,撇开那些对于“不完备性定理”不理解,而从字面意思上进行否定的完全误解来说。(比如之前还有人问过是不是“不完备性定理”本身也是不完备的?这属于压根不知道这个定理是在说什么的——“不完备”针对的是系统而不是定理本身。“不完备”也不是指“涵盖不到”而是指系统的“无法证明”。关于这个内容,对哥德尔不完备性定理的误读内容,就足够单独拿一篇出来说了。)
那么撇开这种非专业的误解,从正确的认知为基础,有没有可能推翻这个定理呢?书里说了一段“反讽”的引文:
“ 由于G的解释为真,其否定~G的解释就为假。而利用TNT一致性的假定,我们有知道在TNT中推不出假陈述,于是无论是G还是~G都不是TNT定理。在我们的系统中就找到了一个漏洞——一个不可判定命题。如果我们在哲学上足够超脱,从而能认清其原因是什么的话,那就不会因此而惊慌。这表明,就像绝对几何一样,TNT能够扩充。事实上,和绝对几何一样。TNT也能朝两个不同的方向扩充。它可以朝标准方向扩充——这与绝对几何朝欧几里得的方向扩充相应;它也能朝非标准的方向扩充——这当然就与绝对几何朝非欧方向的扩充相应了。标准型的扩充将是:
这种见解似乎相当无害甚至颇为称心,因为G毕竟是在说有关自然数系统的某件真的事情。那么肥不标准的扩充又如何呢?如果完全平行于平行公设的情况去做,就得到:
我们怎么居然能做出这么荒唐而又蹩脚的事呢?其实说到底,借用济罗拉莫·萨彻利那些令人难忘的话,~G不正是‘与自然数的本质相抵触’的吗? ”
公理是形式系统构建的基础,上述两个方法其实在做同一件事情——扩充系统,把那个不可证的定理包含进形式系统当中,进一步强化。最直观的例子就是非欧几何的发展。甚至是以TTNT形式系统作例子,印符数论的公理当中,一旦把不可证的“G定理”或“~G定理”作为公理加进来,那么将会产生的影响非常巨大,因为它直接影响了印符数论对“自然数”的定义。
所以后面会出现“超自然数”,那么带有“超自然数”的TNT系统可以运作吗?可以的,依然可以。对于所有自然数可以进行的推导,在TNT系统升级之后,依然可以对超自然数进行推导。问题在于首先是,这打破了原先的定义:“ 与原先了解的数系的本质相抵触。 ”
这就和每一次数学危机之后,人们试图扩展数学领域而遭遇的阻力一样,因为每一次扩展都代表着完全打破了常理和原先的认知,很多时候人们是不能接受这样的。(如果突然对你说,你平时说的不是人话,你是不是会觉得我现在就没有在说人话?)
另一个问题是对“不完备定理”的系统修正,将会打破系统的不一致性。几何学就是最明显的例子,从非欧几何诞生出来之后,它就完全平行于欧几里得几何发展,二者并行。到今天为止还并不存在把两者统一起来的方法(这是两种几何学)。
“ 要害在于~G断言G有证明,如果一个系统的公理之一断言它自己的否定有证明,这个系统还能好得了吗?我们现在注定要焦头烂额了!幸好,事情还不那么糟糕。只要我们仅限于构造有穷的证明,就绝不会证明G。所以,G与~G之间并不会发生不幸的冲突。 ”
如果一个(强度足以证明基本算术公理的)公理系统可以用来证明它自身的兼容性,那么它是不兼容的。
于是,为了确立系统S的兼容性,就要构建另一个系统T(两种补充方式),但是T中的证明并不是完全可信的,除非不使用S就能确立T的兼容性。举个例子,自然数上的皮亚诺公理的兼容性可以在集合论中证明,但不能单独在自然数理论范围内证明。这对大卫·希尔伯特的著名的未解决的23个数学问题中的第二个给出了一个否定回答。
所以只有两条路可选,要么系统进一步强化之后依旧“不完备”,要么强化之后,系统不兼容,二者必居其一。
但是“不完备”的证明并不是一个消极的结果,恰恰相反,是一个很积极的证明,证明了系统具有“可升级”性,很多科学领域也借此拓展到了更广阔的境界。虽然这种进步,往往是伴有“阵痛的”——颠覆以往的认知。另一个值得一提的就是这种分叉现象——上述的对“形式系统”的漏洞修补方案,虽然对于不完备定理来说是“徒劳无功”的,但其本身确实是一个强化补丁,最重要的意义是拓展了思路。(欧几里得几何和非欧几何)
同样这种要面对分叉的问题也会体现在其他的科学领域里,以物理学为例:物理学家在研究物理理论以及实验的时候往往都必须考虑两种情况:纯理论的理想情况以及近似现实的情况。
“ 物理学家总要与条件的近似化和理想化打交道。比如第五章谈过的我自己的那篇博士论文,就是以关于磁场中晶体的问题的一个极为理想的情形为出发点的。显露出的数学倒是高度的漂亮和对称。尽管——毋宁说是因为——该模型的人为性,某些基本的物理特征明显地反映在图表上了。这些特征就提示着对更现实的条件下可能发生的这类事情的一些推测。可是要是没有使我那图标能够产生的那些简化假设,就绝不会有如此的见地。可以看到,在物理学中,这类事情比比皆是:物理学家用一个‘非现实’的情形认识了现实中隐藏很深的一些特性。 ”
所以物理学家需要用到这些理论上截然不同甚至互相“对立”的理论,这是一个更加广阔的视野,而这种矛盾,确实也可以让人们对现实有更深刻的认知。事实上,我们确实应该分清楚,理论和现实的区别,理论上的“不兼容”、“不完备”、“不一致性”。这种影响是不会波及到现实当中来的,所以数论上对自然数的全新定义,也影响不到银行出纳员“数钞票”。
可是要说完全没有关系,也是不对的。实际上我们在看待的是不同层次上的问题,而不同层次上的界限也是暧昧不明的。这些关联性的网状结构了解的越多,越感受到其庞杂和繁琐。但确实也让一切都看起来变得更清晰了。(混沌理论的概念)
我们知道哥德尔不完备性定理的证明破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。德国数学家大卫·希尔伯特提出:像实分析那样较为复杂的体系的兼容性,可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终,全部数学的兼容性都可以归结为基本算术的兼容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的兼容性不能在自身内部证明,因此当然就不能用来证明比它更强的系统的兼容性了——于是希尔伯特计划宣告破产。
我们在之前介绍过大卫·希尔伯特其人,他也是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。
他于1900年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上,作了题为《数学问题》的演讲,提出了23道最重要的数学问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下,希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了一定程度的解决。
希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题,7-12是数论问题,13-18属于代数和几何问题,19-23属于数学分析。
“ 我打算介绍一下哥德尔定理的扩充以结束这一章。……为此,我先得定义丢番图方程,即以常量整数为系数和指数的多项式方程。比如:
以及a^(123,666,111,666)+b^(123,666,111,666)-c^(123,666,111,666)=0
都是丢番图方程。一般来说,要知道一个给定的丢番图方程有没有整数解是一件很难的事。 ”
希尔伯特的第十个问题就是关于不定方程(又称为丢番图方程)的可解答性。这个问题是问:对于任意多个未知数的整系数不定方程,要求给出一个可行的方法(verfahren),使得借助于它,通过有限次运算,可以判定该方程有无整数解。
这里德文的方法(verfahren),就是英文所谓的算法(algorithm)。这个算法的概念就比如:辗转相除法、求最大公约数、还有质数判断之类的。
虽然人们很早就有了算法的朴素概念,但对于到底什么是可行的计算,仍没有精确的概念。一个问题的可解与不可解究竟是什么含意,当时的人们还不得而知。然而为了研究第十问题,必须给予算法精确化的观念。这点还有赖于数理逻辑学对可计算性理论的发展,才得以实现。
第十问题最后的解决可以说是众人共同努力的结果。其中美国数学家马丁·戴维斯(Martin·Davis)、希拉里·普特南(Hilary·Putnam)和朱莉娅·罗宾逊(Julia·Robinson)做出了突出的贡献。而最终的结果,是由俄国数学家尤里·马季亚谢维奇(Yuri·Matiyasevich)于1970年所完成的。 前后一共经历了七十多年的时间。
1944年,埃米尔·莱昂·珀斯特首先猜测,对于希尔伯特第十问题,应该寻求不可解的证明。
1949年马丁·戴维斯利用哥德尔的方法,并应用中国余数定理的编码技巧,得到递归可枚举集的戴维斯范式。他注意到丢番图集的补集并非丢番图的。而递归可枚举集对于补集运算也非封闭的,他因此猜测这两个集合类是相同的。
1950年朱莉娅·罗宾逊在未知戴维斯工作的情况下,试图证明幂函数是丢番图的,并且如果幂函数是丢番图的,那么二项式系数、阶乘以及质数集合都是丢番图的。
1959年戴维斯与普特南共同研究了指数丢番图集,也就是以丢番图方程所定义的集合,但其中指数可以是未知数。使用戴维斯范式与罗宾逊的方法,并且利用数论中一个当时尚未证明的假设(注:已于2004年由班·格林和陶哲轩所证明):存在任意有限长度全由质数所组成的算数级数,他们证明了每一个递归可枚举集都是指数丢番图的。因此若是J.R.成立,就可以将“指数”两字拿掉,而得到每一个递归可枚举集都是丢番图的。因而第十问题是不可解的。
1960年,罗宾逊证明了上述的数论假设是不必要的,并且大大简化了证明。从而可知,只要能证明幂函数是丢番图的,第十问题就可以解决。而关键又是寻找满足他自己假设的丢番图集。
1961-1969年,戴维斯与普特南提出数种可证明J.R.的假定。罗宾逊指出,若存在一个全由质数组成的无限丢番图集,便可证明J.R.
1970年尤里·马季亚谢维奇指出可由十个一次和二次的联立不定方程组,定义偶角标的斐波那契函数:b=F2a
其中Fn是第n个斐波那契数。也就是它是丢番图的,并满足J.R.假设。从而可构造出一个不定方程,它不是递归可解的。也就是不存在算法,可以计算该方程式的整数解。因此使得希尔伯特第十问题,得到最终否定的解答。
通过前面笔记的讲述“pq形式系统”,我们已经知道递归可枚举集可以被描述为一个集合,并且对其存在一种算法:对这个算法,当集合的一个成员被输入时最终会停机,但一个非成员被输入时会不确定的继续。是可计算性理论(亦即递归论)给出了算法可计算性的直觉符号的精确解释,因而使得递归可枚举性的符号具有完美的严格性。
显然,丢番图集是递归可枚举的。因为可以排列所有可能的未知数的值的多元组为一个序列,然后对于一个给定的参数值,一个接一个的测试这些多元组,看他们是否是相应方程的解。希尔伯特第十问题的不可解性源于其逆命题成立:
这一结果即马季亚谢维奇定理(由他提供的完成证明的关键步骤)和MRDP定理(即尤里·马季亚谢维奇,朱莉娅·罗宾逊,马丁·戴维斯和希拉里·普特南各人姓氏的首字母缩写)。因为“存在一个递归可枚举集是不可计算的”的直接后果就是希尔伯特第十问题的不可解性。
“ 现在可以把对G的讨论简单化了。已经证明,只要你有一个足够强有力的形式数论以及它的一个哥德尔配数法,那就有一个丢番图方程等价于G。这种等价性依赖于下述事实:当我们在一个元数学的层次上做解释时,该方程断言它自己无解。反过来说就是:如果你找到了一个解,那就可以从这个解构造出该系统内的一个关于此方程无解的证明的哥德尔数! ”
现在读书笔记系列来说,对笔者越来越困难了。首先是因为后面涉及到更多更广的学科内容,其次是——笔者快要找不到够用的配图了。而阅读这种动辄几万字的长篇,尤其还是在手机上看的话,如果没有配图是很伤神的。问题就在于,后面很多的内容几乎都是纯理论化的论述,有时候只能用着头皮找一些“不明觉厉”的图进来凑数(前面的笔记就有了)。好在埃舍尔的画确实足够“神奇”。
到目前为止后面还有七个章节的内容,按照笔者的速度,可能还要半年(差不多一个月啃下一章节)。感觉距离结束还是一个挺遥遥无期的念想,当然还能有兴趣看下来的各位朋友,这里除了感激以外,也再难表达出更多的情绪了~~~谢谢!
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