这一章节的内容在形式上非常有意思,中文版的作者前言里特别提到了这一章内容。是关于侯世达聊到自己这本书的中译版的时候,他特别用这一章的内容拿出来举例子,并且讲了自己对于中文和英语之间的差别与关联,以及语言本身与思维之间所包涵着的那些有趣的部分。
而在内容上来看,这一章节的内容更像是一个扩展的章节,和前一章讨论的“命题演算”关系非常密切,因为这一章节提到的形式系统“印符数论”简称“TNT”本身就是一个“命题演算”的形式系统。这是以“命题演算”这个形式系统来表述数学中数论的内容,所以在前一章强调过,这是一个在逻辑上进行过强化的“命题演算”形式系统——因为在前一章里面“命题演算”面对的对象是普通的自然语言,所以在逻辑还有意义表达方面有很多暧昧不明的地方,而这里的强化版在于,它的表述对象是数论,要比普通的自然语言在形式逻辑上有更严谨的要求。
在中文版前言里面关于中文翻译这一部分,侯世达这样写道:
“吴教授这次来访最值得回忆的部分是我们那些有关翻译的活泼讨论,对这一话题他显然是极有兴趣的。一天晚上,我们的讨论集中到被称作《螃蟹卡农》的那片对话上来,它严格的模仿了巴赫的一首为两把小提琴而写的作品。这支曲子(是巴赫《音乐的奉献》中的一小部分)具有一种奇特的性质:它倒着演奏时同正着演奏时听起来是一模一样的,只是那两件乐器或‘声部’彼此对调了。具有这种性质的音乐作品传统上被称作‘螃蟹卡农’,因为螃蟹据说是倒着走路的(实际上,它们更多地是横着走而非倒着走,然而这个名称不管怎么说已约定俗成了)。
我一描述完音乐中螃蟹卡农的概念,吴教授就指出了这种音乐作品同‘回文’间的联系——回文就是那种正着读倒着读都一样的句子……”
回文,也可以叫做回环。直白来说就是正反都能读通的句子,这是一种修辞方式或者文字游戏。在这种回文当中,有些时候并不仅仅只是单纯的正反都能读通,有时候运用得当的话,在句子本身的意思上也可以表现出两种事物或者现象互相依靠或排斥的关系。——也就是说在形式上和意义上匹配起来,虽然大部分的回文正反读通仅仅是形式上的(反过来读一个意思)。
最耳熟能详的估计是那个:“上海自来水来自海上”,当年笔者第一次听这个大概是小学的时候,那会是用这个来对对联,于是很多人在那里折腾半天。其实类似的句子能找出来不少,比如:“船上女子叫子女上船”、“花莲喷水池水喷莲花”、“中山诸罗茶罗诸山中”……形式上其实能找出来很多,当年这句上海自来水来自海上的对联之所以难,在于要求不光是形式上对上号,也要在意思上表达一样的东西(这就是前面说的更高技法的回文的修辞运用)。汉语历史上的回文最早的源头至今不明,有很多种说法,不过最早至少可以追溯到汉朝,也就是说这种修辞手法在汉语中很早就有了。
前面举出的例子只是其中几种比较明显的例子,从类型上面来分类,回文可以分成三种:1·以词为单位对称。2·以字或者字母为单位对称。3·以句子为单位对称。当然回文不仅限于汉语,同样的情况是可以带入到其他语种当中去的。而这三种分类法也可以适用于其他的语种,最明显的例子就是英语,侯世达教授在这一片段落当中也提出了类似的——“A man,a plan,a canal:Panama.”这个例子很明显,这句英语当中的对称是以字母为单位的。这一可以通过对比看得出来,为什么对于外国人来说汉语有难度,因为汉语中的单字同时可以具有“字母”和“单词”两重性质,而外语中的字母就仅仅只是字母单位(这种分别经过层层递归地分化发展,甚至可以变成我们今天看到的东西方文化之间的巨大差异)。
回文令人着迷之处在哪里?在于其形式上的对称性,正反都能读通,这表现出了一种形式表达和内涵意义之间极具规律性的东西。虽然在自然语言当中,这个并不能算作是一个非常普遍的例子,但是以其为切入点可以窥探到形式与意义之间某种深层次的规律性。
对称这个概念其实是一个相当深遂的概念,几乎可以涉及到一个方方面面,从艺术创作到生物学,从心理学、社会学再到哲学范畴内。毫无疑问,对称性是一种实际存在的既有实际上的,也有概念上的客体的一种特性。这是一种规律性的表现,最典型的对称性就是左右对称——对象的一半为另一半的镜射。
对称性在哲学上有点类似于一种对立统一的规则,在辩证唯物主义哲学的三大原则中,对立统一规律正是其中之一。在数学上的对称概念是这样的——
如果称一个几何图形或物体为对称的话,即表示它是变形的不变量,而对称一词亦包含在此定义之中。若两个物体称为互相对称时,即表示其中一者的形状经几何分割后,在不变更整体形状的情况下,可以将分割片段重组为另一者,且反之亦然。
——摘自维基百科
对称同样可以在生物学中发现,包括我们自身,其它各种动物形态。除了这些形式上的,在抽象概念上,对称性也体现在很多地方,比如说之前曾经花不小的篇幅介绍过的“分形”的概念。
回到书中的内容来,这里不得不说一句,在阅读这本书的时候,前言和翻译一定得看。有些部分虽然可能看似无关紧要,但是恰恰是解惑的关键。侯世达自己就在前言部分讲述了这篇高度形式化的对话当中所蕴含的特殊之处:
“我解释说,出自纯结构方面的考虑(即让它正着读和倒着读是一样的),我构造了一篇听起来像是一场合情合理的交谈的对话。事实上,当我花了几个月对它进行修饰的时候,我设法赋予它以下面这种假象:使它看上去像是原本就是围绕着某些概念(具体地说,如果音乐中出人意料的对称、DNA和美术)其次才是围绕其对称结构而撰写的,而不是反过来。其最后的结果就是:《螃蟹卡农》的形式和其内容之间有一种惊人的共鸣。
如果不需要这种共鸣,译者实际上完全可以就任何题材用中文构造一片流畅的对话,正像我前面提到的关于回文‘解释’的问题一样。然而《螃蟹卡农》中形式与内容的交织意味着:尽管形式是这篇对话中首要的——并且是不可违背的——方面,其内容也应该尽可能地保留。”
正如前面所说,回文作为一种修辞手法,基本上来说都可以算是形式大于内容(内容上要求通顺就行)。然而这只是最基本的,真正精彩的回文在于内容和形式上的统一,这样的回文也最具有启发性,把对称这种奇妙的关系跨过了形而下与形而上之间的界限让我们可以看得更加明白。
对称这种特性我们似乎在哪里都能够找到,它是那么的普遍,以致于除了上课的时候会稍微提到一下之外,我们几乎都会忽略掉它,因为它太习以为常了。而它恰恰体现出了某些极深层次的规律规律性,这种规律性难以言表,所以对称这两个字要是认真来解释我们甚至可以写出几十万字的论文来(这一点上它和数论还挺像的,一个简单的数字,要解释清楚却不简单,这一章恰恰也涉及到了数论的内容)。
对立统一规律自身恰恰表现出了这种矛盾性——最浅显的规则埋得最深,最简单的关系构建最复杂的系统。最深奥的意义在生活中似乎没什么意义……
这一篇对话的主角一共有三个:阿基里斯、乌龟和螃蟹。为了对应形式上的对称,阿基里斯和乌龟分别负责了头尾对照部分的对话内容。也就是说开篇对话是阿基里斯和乌龟之间互相问候,然后对话到中间段落插入了螃蟹进来。在螃蟹的段落结束之后,阿基里斯和乌龟的对话再一次开始;只不过这一次他们的对话和前面正好是颠倒过来的——不论是内容还是说话的人全部都互相颠倒。这里直接把对话截取出来看,一目了然:
“乌龟:周末愉快,阿基。
阿基里斯:彼此彼此。
乌龟:同你在一起总是令人高兴的。
阿基里斯:我也有同感。
乌龟:在这样的天气里散步真是好极了,我宁愿散步回家。
阿基里斯:哦,是吗?我觉得对你来说再没有比散步更好的了。
乌龟:哎,阿基,这些天你看上去气色很好。
阿基里斯:非常感谢。
乌龟:不,不。来,尝尝我的荷兰雪茄吧。
阿基里斯:啊,你在这方面真是个外行,你的口味不行。你不认为荷兰人的玩意儿都很糟吗?
……”
这就是开篇部分的对话(话说这俩还真是好基友,还——阿基~~)到这一句之后对话走向开始逐渐往主要内容引导几句话之后螃蟹插入了对话当中,他们聊了从DNA遗传到美术再到音乐的内容,在这里哥德尔、艾舍尔和巴赫都被嵌为一体了。然后对话自然而然的又回到了上面这段内容里面来,只不过说话的人物和顺序完全颠倒了,这里摘录下来,直接一对比就能看出来:
“……
乌龟:啊,你在这方面真是个外行,你的口味不行。你不认为荷兰人的玩意儿都很糟吗?
阿基里斯:不,不。来,尝尝我的荷兰雪茄吧。
乌龟:非常感谢。
阿基里斯:哎,龟兄,这些天你看上去气色很好。
乌龟:哦,是吗?我觉得对你来说再没有比散步更好的了。
阿基里斯:在这样的天气里散步真是好极了,我宁愿散步回家。
乌龟:我也有同感。
阿基里斯:同你在一起总是令人高兴的。
乌龟:彼此彼此。
阿基里斯:周末愉快,龟兄。”
这么一看就非常明显了,他们的对话一直到螃蟹插进来为止,前后的内容完全以这样的形式对称(所以这个对话倒过来读也是能读通的,这里的倒过来读是说一句一句倒过来,而不是一个字一个字倒过来,这在前面的回文里说过了)。当然前后也不是完全一样,在对话中阿基里斯和乌龟都提到了《螃蟹卡农》这个作品,但是他们提到的这个作品却不是同一个《螃蟹卡农》。乌龟说的是艺术家艾舍尔的《螃蟹卡农》,而阿基里斯说的却是作曲家巴赫的《螃蟹卡农》。
中间这一段,螃蟹插了进来。它讲述了一段自己在公园里遇到了粗暴老毛子的经历,他的一只眼睛被老毛子的手杖给打青了。结果螃蟹对阿基里斯和乌龟讲述这一段经历的时候,感觉像是说了一段RAP一样——“ ……你们瞧瞧这块青、这块肿,是一莽汉把我伤。嘿,而且是在这样一个好天里。你们瞧,我正在公园里懒洋洋地闲逛,迎面看到一个从彼得堡来的大块头——简直就是头熊——拿着吓人的俄国手杖…… ”
螃蟹这一段的自述内容,主要是想说它们螃蟹因为基因愿意只能横着走,然后在这里书里给出了一张插图,是螃蟹的DNA片段,螃蟹的遗传信息展开的字母内容就和回文一样(之前笔记里面提过,遗传信息只有四个字母,代表四种氨基酸),螃蟹的遗传信息是这样的:
“ ……TTTTTTTTTCGAAAAAAAAA……
……AAAAAAAAAGCTTTTTTTTT…… ”
这是螃蟹的两股DNA链被拆开并且并排铺开的样子。这看起来就像是上面说的“回文”对吧,正过来看反过来看都是一样的,是对称的。螃蟹说自己总是绕圈子就是因为自己的基因是这样,说完之后它就像来的时候一样,又突然消失了。之后阿基里斯和乌龟的对话如上面所说,完全镜像对称的重复了前半部分,然后对话结束。
侯世达随后就详细地解释了这段对话的内容,那个解释的章节题目叫《螃蟹卡农和间接自指》。这里直接摘录原文的解释:
“对话《螃蟹卡农》中出现了三个间接自指的例子。阿基里斯和乌龟都描述他们所熟知的艺术作品——而那些作品却很偶然地恰好与他们所处的对话具有同样的结构。(你可以想象当我,对话的作者,注意到这一点的时候,该是多么惊讶!)而且,螃蟹描述了一个生物学的结构,也是具有同样的性质。当然,有人可能读了这个对话,理解了它,同时却没能注意到这对话本身也具有一个螃蟹卡农的形式。这就是只在一个层次上来理解它,而忽略了另外的层次。要想看出自指,必须即看到这个对话的内容,也看到它的形式。”
" 在这一章里,我们将定义一个形式系统——印符数论,也就是把数论表示在印刷符号中。这个系统简称为TNT,这一方面是因为英文的‘印符数论’是Typograhical Number Theory,而另一方面是因为这个形式系统能释放出很强的能量。哥德尔的构造就不仅要依靠对这个形式系统中串的内容所作的描述,还要依靠对这些串的形式所作的描述。一个意想不到的回旋是:由于哥德尔所发现的奇妙的映射,串的形式能在这个形式系统自身里面描述。 "
这是一个用来描述自然数的形式公理系统,完全就是在这本书当中提出的。TNT是皮亚诺算术的一种实现,作者一次来解释哥德尔不完备定理,这个系统之外也存在着其它实现皮亚诺公理的系统,而它们据有着共同的特点——是自指的(这就是上面原文中说到的那个意想不到的回旋)。
实际上TNT系统也是一种命题演算,因为前面提到过的命题演算中除了原子符号之外的所有符号都被运用到了TNT当中去,并且还保持着原本的解释(命题演算中的符号解释)。而原子符号则被关于相等陈述的串替代,比如“ 1不等于2 ”——“ ~S0=SS0 ”在这里我们看到,数字被符号替代,把1变成了S0在后面会给出对应列表,非常的明显一看就懂。
但是在详细讲述这个形式系统之前,我们有必要先来看看“数论”(之前都不止一次涉及到数论了)。
数论作为纯粹数学的分支领域之一,主要研究整数的性质,书中也有解释,数论仅仅只涉及正整数和零(以及这样的整数的集合)的性质。
正整数按照乘法进行性质划分,可以分成质数、合数、1(关于1是不是质数这个问题貌似争论至今还没得出什么确定的答案),质数的内容在很早之前的笔记里就涉及到过了,关于质数产生了很多一般人能够理解却又悬而未决的问题,最广为人知的就是:哥德巴赫猜想、孪生质数猜想等等。这些问题都存在着矛盾统一的特性,也就是说这些问题虽然在形式上十分的初等(基本都是我们初中甚至更早就学到的东西),可是实际上要证明这些问题要运用到许多艰深的数学知识。(元旦那会在知乎上发生的那件“高中生证明哥德巴赫猜想”的事情也能算是一个边缘的相关事件吧……)
整数可以是方程式的解(丢番图方程)。有些解析函数(黎曼ζ函数)中包括了一些整数、质数的性质,透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系,并且用有理数来逼近实数(丢番图逼近)——丢番图是3世纪希腊数学家,他是第一个把符号引入代数的数学家,他以研究求不等式整数解的问题(丢番图逼近)和求方程整数解的问题(丢番图方程)而著名这二者的问题互相之间关系密切,并且对后世的数学数论发展有深远的影响。
关于数论领域的研究对于整个数学的发展包括逻辑学等等其它相关领域都有巨大的推动,产生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数和质数之外,也会研究一些由整数衍生的数(比如:有理数)或是一些广义的整数(比如:代数整数)。
数论这个叫法产生于20世纪初期,更早的时候数论被称为“算术”,算术一词表示“基本运算”,在20世纪后半叶的时候,部分的数学家依旧会用“算术”一词来表示数论,也有数学家用“高等算术”来表示数论。二者的性质随着研究的不断深入逐渐的泾渭分明(也就是叫法被更加确定,概念被确定下来)。
虽说数论一直到20世纪后半叶才逐渐作为学术领域被确定下来,但是其诞生却可以追溯到很早很早之前,其早期的铺垫来自三个部分:
1·欧几里得对于素数的证明,证明素数有无穷多个(关于这个证明前面提到了好多次。)
2·寻找素数的埃拉托尼特尼筛法:欧几里得求最大公约数的辗转相除法。
3·公元420年至589年(中国南北朝时期)的孙子定理(也叫中国余数定理,关于一元性同余方程组的定理,可不是总结关于“儿子的儿子”的定理啊)。
数论的中期时代主要是15-16到19世纪的时候,其中涉及到了诸多耳熟能详的著名学者: 费马 (费马大定理发现者)、 梅森 (费马好友,法国神学家、数学家、音乐理论家,以编辑过多为希腊数学家的著作并对其中的课题进行论述,以梅森素数闻名)、 欧拉 (近代数学先驱之一,他把数学符号进行了推广,并且引进了“函数”概念,从牛顿运动定律为起点,建立了流体力学的欧拉方程。)、 高斯 (历史上最重要的数学家之一,号称“数学王子”,《辐射》里高斯步枪梗的出处。他预测了非欧几何学、发展了数学分析的理论。)、 勒让德 (法国数学家,解析数论先驱者之一,他与拉格朗日、拉普拉斯并列为18世纪末期到19世纪初期三大数学家之一,他们并称“三L”——因为他们名字的开头字母都是“L”。)、 黎曼 (德国数学家,黎曼几何学创始人,复变函数论创始人之一,在之前关于非欧几何的内容里提到过他)、 希尔伯特 (德国数学家,19世纪到20世纪初最具影响力的数学家之一,证明论、数理逻辑、区分数学与原数学之差别的奠基人之一,希尔伯特问题提出者。他发起了希尔伯特计划试图严谨证明公理系统相容性,虽然最后宣告失败了,这曾在前面第二篇笔记说过)。
费马对于数论的贡献主要有“费马小定理”和“费马大定理”(比较有名的是费马大定理,当然既然有大必然有小)。费马小定理可以这样说:加入a是一个整数,p是一个质数,那么“a的p次方减a”是“p”的倍数。费马小定理可以算是欧拉定理的一个特殊情况,一开始欧拉对数论的兴趣是被他的好友哥德巴赫所引发的,早年欧拉的研究就是以费马的研究作为基础开始的。(这里具体就不说太多了,因为完全会偏题)。
费马大定理一开始是叫“费马猜想”,在1637年的时候,费马当时正在阅读丢番图的《算术》拉丁文译本,他曾在第11卷第8命题旁边这样写道:“ 将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信我发现了一种美妙的证法,可惜这里的空白处太小,写不下。 ”
结果这就成了数学界的一个巨大的问题,并且推动了诸多的研究,很可惜的是当时费马本人没有写下证明。数学家们对于这个“猜想”的证明做了非常多的工作,从而推动了数论的发展。一直到三个多世纪之后,这个猜想才变成了定理。在冲击这个可以算得上是数论“世纪难题”的过程中,无论是前面的不完全证明还是后面的完整的证明,中间的很多衍生结果都推动了数学界的发展。在这些过程中诞生了包括代数几何中的椭圆曲线和模形式,以及伽罗瓦理论和赫克代数等。
费马大定理一直到1995年被安德鲁·怀尔斯证明,证明被发表在当年的《数学年刊》上。
到今天为止,数论已经产生出了诸多的分支:初等数论、解析数论、代数数论、算术代数几何、几何数论、计算书论、超越数轮、组和数论、模形式。
初等数论涉及到的问题一旦不会超过高中程度,主要把问题集中在整数的整数性和同余等等,涉及到的重要定理包括:中国余数定理、费马小定理、二次互反律等等。
解析数论是指借助微积分和复分析的技术来研究关于整数的问题,主要可以分为积性数论和加性数论两类,前者是借由积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题,涉及到质数定理、迪利克雷定理。加性数论研究的是整数的加法分解之可能性与表示的问题,该问题涉及的问题包括:华林问题、筛法、圆法等等。
代数数论是关于代数整数的研究,主要是为了研究能够更一般的解决不定方程的问题,这个领域和代数几何之间有相当关联,类域论是其中的巅峰之作。
算术代数几何研究有理系数多变数方程组的有理点,其结构和该方程组对应的代数簇的几何性质之间的关系,其中最有名的定理就是费马大定理。
几何数论在于透过几何学观点研究整数的分布情况,最著名的定理是闵科夫斯基定理(也叫闵科夫斯基不等式)。
计算数论借助电脑的算法帮助研究数论问题,比如素数的测试、因数分解,甚至还和密码学方面的内容息息相关。
这之后还有很多分类,这里就不说得太详细了,总之对数论这个数学范畴内的一座高峰有所了解的话可以帮助理解后面的一些问题。其实数论研究的问题可能归结到后面的结论是一个相当简单易懂的结论,然而其构筑步骤极为繁复(就像前面笔记里提到过的那些例子一样)。而专业化的符号和表述恰恰是为了简化并且更有效率地运作这些理论(这就是为什么需要经过专业数学训练的专家学者们才能够进行这一领域的工作——其实其他领域也都类似,门外的人终究只能看看热闹)。
在之前已经说过,印符数论这个形式系统本身就是命题演算,而在形式系统的表现上面它可以算是命题演算的强化升级版。命题演算使用的那些起始材料——“原子命题”本身来自于自然语言,然后经过递归的复杂构筑诞生出更复杂的命题句子。然而这就存在着问题,这在前面说过,由于递归的推动规则使得原子命题本身可能带有的逻辑漏洞等问题给发展到了后面去,结果就会出现之前阿基里斯和乌龟那样对于命题逻辑的分歧。
这就是印符数论这个系统更为强有力的原因所在,它的起点来自于数论当中的表述语句,在逻辑上要比一般的自然语言语句严谨得多,在逻辑强度上面要强过一般的命题。
“我们先列举一些数论里的典型的句子,然后想法找一集基本的概念,使所有那些句子都可以用这些概念重新叙述出来。下一步再把这些概念一个一个地赋予符号。顺便说明,我们从一开始就得清楚,‘数论’这个术语仅仅只涉及正整数和零(以及这样的整数的集合)的性质。这些数被称为自然数。负数在这个理论中没有位置。所以,当用到‘数’这个词时,它仅只意味着自然数。
下面这一点对读者来说是很重要的——极其重要的:在你的心里始终要区别开我们的形式系统(TNT),和那个比较起来规定得不是那么明确,然而却令人感到舒适的古老的数学分支,即数论本身。”
上面这一段是书中原文的内容,个人觉得非常重要的一段,其中有两点必须反复强调:
第一是数论当中没有负数这个概念,很多人对此不了解(之前知乎上那位试图证明哥德巴赫猜想的朋友是用负数的概念去做证明的……这……这就是为什么建议没有受过数学专业训练的人不要去证明哥德巴赫猜想的原因了,这个例子挺明白的)。
其二是印符数论的概念并不能等同于数论本身,这是两个东西,印符数论只是一个运作符号的形式系统,虽然它会使用数论当中的语句,但是本质还是个形式系统。它不能直接等同于数论这个学问本身,这个会发生混淆的问题在前面的几个形式系统全都提到过。虽然在单独句子的意思解读上我们会发现它们是同构的,但是两个概念本身并不能混淆,一旦发生概念混淆会使得之后的概念混沌不清(穿越到堕界去了)。
接下来我们来看看印符数论当中用到的语句,之前作者说过他用字母“N”来代替数论,为了后面的叙述方便,后面所有的N都指代数论的意思。
那么在N中存在的一些命题,这里列举一个出来:“5是素数”,书中说,“素数”本身虽然可以用字符替代,然而这个概念还不是最基本的,因为素数的特性是和一个数所具有的因子有关,而这个因子又和乘法概念相关。所以要运用印符数论系统的话,我们要使用更低层次的语句来描述这个概念,也就是把“ 5是素数 ”变成“ 不存在这样的数a和b:它们都大于1,而且5等于a乘以b ”。
类似地再找一个例子 :“ 6是偶数 ”——我们要把它转换成:“ 存在一个数e,使得2乘以e等于6 ”
之所以要这么做的原因,是因为在之前的命题演算里就已经说明过,我们要使用的是语言的基本成分,所以这里我们需要的是数论语言的基本成分。通过上面的转译,我们已经把一句数论语言变成了更加接近语言基本成分的形式,但看得出来这还是复合句,我们还要进一步“提纯”。
总结出其中反复出现的一些短语:“对任何数b”、“存在一个数b,使得……”、“大于”、“等于”、“乘以”、“加上”、“0,1,2,3……”。这些段于是重复出现的,所以它们可以被一个符号所替代,当我们在各种句子中看见同样的符号的时候,我们知道那个符号的意思是什麽。前面列举出来的符号当中有一个例外:“大于”,它还可以进一步“归约”书中的例子是:“ 句子‘a大于b’可以变成:‘存在一个不等于0的数c,使得a等于b加上’。 ”
最基本的语句使用符号来代替,而数字需要另一种方式了,如果要给每一个自然数都配备符号那太没有效率没有意义了,所以反过来使用一种简单的始终如一的方式来用符号提到数字,就是使用复合符号——有点像之前的pq形式系统里使用短杠数目来代表数字一样。书里给出的记数法是这样的:“零——0”、“一——S0”、“二——SS0”、“三——SSS0”……依此类推。
这样我们有了那些关键短语的符号(命题演算里的联结词符号,这里的运用完全就和上一篇笔记里的符号运用方式一模一样)。除了这两个部分之外还有一个就是“变元”,用书里的原话说:“ 显然,我们需要有一个方法来表示那些非指定的数——或者说可变的数。 ”方法和命题演算处理“原子命题”的方法一样,用一个无限制的供应方式(给几个字母,同时字母后面加一个可以叠加的符号来表示其变法),这个方式其实很多——“ 从某种角度来说,用字目标的前五个字母多少是种奢侈,因为我们本可以只用a和撇号就行了。后面,我将真的不用b、c、d和e,结果将得到TNT的一种‘简朴的’版本——此处所谓的‘简朴’是说读懂复杂的公式变得较难了。 ”
整个TNT系统可以分为这么几个部分:数字、变元、操作符、量词,现在我们已经得到了数字和变元的符号替换,再来看看操作符的符号替换,首先是操作符分为这么几个:加法和乘法以及等于和否定。分别使用“ + ”来回表示加法、“ · ”来表示乘法、“ = ”来表示等于以及“ ~ ”来表示否定。
这几个符号就构成了操作符的符号替换,但是这里要不厌其烦的提醒——在形式系统当中的形式符号绝对不能等同于这个词的普通意义,因为形式符号的意义解读是严格受到规则的管辖的。
“……需要特别小心,不要混淆一个符号与随它而来的所有联想。参考一下pq系统:像我以前说过的,‘———’这个串不是3这个数,但它起着与3同构的作用,至少在加法范围里是这样。对串SSS0可以做类似的说明。”
符号“~”表示否定,是这样表达的比如“~(SSS0+SSS0)=SSSSSSS0”这个字符串在TNT中是一个真命题,它表示的意思是“3加3不等于7”。 在其中所谓否定意思是指逻辑上的“否定”,例如“我在吃葡萄柚”逻辑上的否定是“我不在吃葡萄柚”,而不是“我在吃葡萄柚以外的东西”。又比如,“电视开着”的否定是“电视没有开着”,而不是“电视关着”。在这里我直接使用了维基百科上面给出的例子,我们注意到了,在这个形式系统之下表达的意思是有严格规范的,而不能够进行自由解释,所有的解释都有逻辑上的规范,这正是前面不厌其烦强调的形式系统与自然语言之间虽然具有同构但是本质上的不同之处。
最后来说说TNT当中的量词,在TNT中使用了∀(全称量词,表示“任何”)与∃(存在量词,表示“存在”)两个量词。举两个例子:
“1: ∀a:∀b:[ (a + b) = (b + a) ]
(“对任意数a与数b,a加b等于b加a”,或用更概括的说法为“加法是可交换的”)
(“不存在数c使得c加一等于零”,或用更概括的说法为“零不是任何数的后继”) ” (这里还是直接使用了维基百科上面的例子,容笔者偷个懒)。
“ 上述所有的良构公式都具有这样的性质:它们的解释是句子,而这些句子不是为真,就是为假。但有的良构公式却不具有这个性质,不如这一个:
它的解释是‘b加1等于2’.由于b是未指定的,没有办法为这个陈述指派一个真值。它像一个含有代词的脱离了上下文的语句,例如‘她很笨拙’。它即不真也不假,它等着读者把它放进一个上下文中去。正因为它既不真也不假,这样的公式就被称为开公式,而变元b则被称为自由变元。 ”
上述这一段原文内容已经说出来了,句子的真假性质取决于我们翻译出来的这个符号串的解释,运用上面的符号∀与∃两个量词加在前面,我们就会得到不同的情况,前者会让句子变成一个假命题——“任何一个数b,则b加1等于2”,而后者则得到一个真命题——“存在一个数b,则b加1等于2”。如果没有这两个量词,则开放公式的真假就很难判断了(需要带入上下文)。
书中一口气给出了好几个例子,让读者尝试进行翻译,把数论语句翻译成符号串,从而非常详细的解释了,在这个转译过程中,所有的符号所产生的功能,已经得到的字符串所具有的特性。——当然这就需要读者有相当的耐心跟着走了,其实耐心来看这些东西作为习题并不难,哪怕就是死板的一个照着一个翻译都不会有太大的问题。但简单的符号背后,我们真正想要了解到的是这个逻辑结构的运作,和系统本身,符号的形式系统运作只是为我们窥见后面的本质打开了一扇窗户。
“到了这个时候,值得停下来好好想一想:一个能筛选出真公式与假公式的形式系统是什么意思。这个系统要去处理所有这些串——它们在我们眼里像是陈述——它们作为一种制品只有形式,没有内容。并且这个系统要想一个筛子一样,只能通过那些带有特殊样式——‘真理样式’——的制品。
……你将领略到这种系统必须要具有的那种精妙之处,它们能够做同样的事情!用来区分真陈述集合与假陈述集合的界限(用TNT记法写成)绝不是笔直的;这个分界线有着许多莫测的弯曲,数学家们在这里和那里描绘其走向,一直工作了好几百年。不难想象,如果有一个印符的方法,能保证把任何一个公式放到这分界线的适当一边,那该多棒!”
那么真假的分辨和筛选是怎么做到的呢?不要忘记它依旧还是形式系统,所以三部分的结构一直是不变的:公理、推理规则、定理。前后两者都是命题,那么这个过程自然是来自于推导规则里面了,这非常的明确。
规则直接限定了原子公式必须是良构的,同时推导规则影响了构筑过程,它是递归地延长规则。从而保证经过筛选的原子公式的“良性”能被延展出来,从而最后获得的结果能保持之前的良好性质(真命题、良构串)。
“TNT的整个目的就是要确定:是否可能,以及如何印符地刻画所有对应于真理的串。”
在之前的内容里提到过“真值”这个概念,命题当中有真值这个值的概念,而一般这个值只有两个——真和假。同时我们也在反复强调形式系统的元语言的解释之别于自然语言的语义解释,而这虽然同构但是是不同的,但这方面一直很难说得清楚。
一般来说用自然语言叙述的命题假如是真的,那么存在两个真——“真值为真”和“含义为真”,形式系统当中的命题之所以不能代入到现实中,这是因为形式逻辑系统的命题本身并不具备含义。命题只有真值而没有含义,这个值涉及到的问题在于证明,不论是公理命题还是定理命题。而当形式逻辑系统被实际应用与现实中的时候,系统里的符号就被映射到了实际概念是,从而具有了语义,这种映射关系被叫做模型,有了模型,命题本身才有了含义(语义)——(之前类比过形式系统之于现实世界就好比模型之于实物)。
在大多数情况下,命题的真值的真和含义的真基本可以保证一致,不过有些时候这种一致性会出现问题——悖论(“我是个骗子”)。
本章节的大量内容讲述的是TNT如何把自然语言的命题翻译成印符,然而这还只是刚刚开始,接下来的内容才是重点,TNT的应用对象自然是关于数论的“公理形式系统”(任何形式系统——公理、推导规则、定理)。
在之前在涉及哥德尔不完备定理的时候我们看过它的定理(第一条):
任何兼容的形式系统,只要蕴含皮亚诺算术公理,就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题,因此通过推演不能得到所有真命题(即:体系是不完备的)。
第一条定理的证明过程在体系内部形式化之后,哥德尔证明了第二条不完备定理:
任何逻辑自洽的形式系统,只要蕴含皮亚诺算术公理,它就不能用于证明它本身的兼容性。
我们注意到两条定理当中都蕴含了皮亚诺算术公理,皮亚诺算术公理系统本身是一个一阶系统,它是完备的。这里要提到很多人对于哥德尔不完备性定理的一个误区之一,哥德尔不完备性定理并不是说所有的公理系统都是不完备的,不完备性定理的证明之前已经存在了哥德尔完备性定理,而哥德尔定理是一个一阶逻辑的定理,也就是说在一阶系统的范畴之内我们是可以得到完备的系统的,比如欧几里得几何(前四大公设构建出的几何系统,者在前面说过,欧几里得几何在前四大公设范畴内构建的几何形式系统是一个完备的系统,并且是一个一阶系统)。
皮亚诺算术公理系统,简称皮亚诺公理或者皮亚诺公设,是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公设,根据这五条公设(公理)可以构建起一个一阶算术系统,这个系统就叫做皮亚诺算术系统。
皮亚诺算术五大公理用非形式化(自然语言)的方法叙述如下:(在前面的笔记里已经写过了,但是这里还得再来一遍~~)
2:每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a’,a’也是自然数(一个数的后继数也就是紧接在这个数后面的数,列如:1的后继数是2,2的后继数是3等等);
3:对于每个自然数b、c,b等于c当且仅当b的后继数等于c的后继数;
5:任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n’也真,那么,命题对所有自然数都真(这条公理假设了数学归纳法的正确性)。
这里并没有把0算作自然数,而如果把0算作自然数的话,公理当中的1都要被0替换掉。
把这五大公设放到TNT当中去,用符号代替之后就得到了如下五条形式化公理:
公里5:∀a:∀b:(a·Sb)=((a·b)+a)
把这五个字符串当中的每一个符号解释按照上面说的翻译规则进行对照,然后再对应前面用自然语言描述的五大共设,相信这就很容易可以看出来了。(书里说了非常详细的翻译方式,甚至还给了习题进行联系,简直就像课本一样。不过作者也提醒道,除非是具有一定程度数论知识,并且愿意花大把时间在这个上面的人,否则的话还是看过就得了。所以这里的笔记也省略了当中那很详细的讲解部分以及TNT练习题……)
随后书中简单的介绍了一下皮亚诺公设的由来,这里摘抄一段原文:
“公理1的解释——‘零不在任何自然数的后面’——是自然数的五条著名性质之一,这些性质是由数学家和逻辑学家朱·皮亚特于1889年首次明确认定的。皮亚诺沿着欧几里得的路线提出他的公设,他的做法是:不去致力于把推理的原则加以形式化,而是力图给出一个自然数性质的小小的集合,从它出发,其余的每样东西都能由推理而得出。因此,皮亚诺的努力也许可以认为是‘半形式化的’。皮亚诺的工作具有重要影响,所以,介绍一下皮亚诺的五条公设时会有好处的。”
那么皮亚诺公设对于TNT为什么那么重要呢?——再次引用原文:
“皮亚诺希望把自然数的本质纳入到他的五条公设之中。数学家们一般都承认他成功了,但是这并没有减少下面这个问题的重要性:‘怎样区别关于自然数的真陈述和假陈述句?’为了回答这个问题,数学家们又转向完全形式化的系统,比如TNT。不管怎么说,你将在TNT中看到皮亚诺的影响,因为所有他的公设都以这样或那样的方式被引进到TNT里来了。”
书中的TNT推导习题
作者后来给出了很多对应规则应来推导和解读符号串的推导以及符号的关系,然后不断地推导中出现了一些有意思的事情。当我们按照给出的公理和推导规则进行推理的时候,我们可以得到一堆符合规则的定理(字符串)。紧接着出现了一个有趣的情况,当我们把这些定理全部集合起来之后对它们进行概述并且全称量化之后得到了一个新的字符串——:“ ∀a:(0+a)=a ”。把这个字符串放到TNT系统里面进行对照结果我们发现这个概述的字符串按照原本的公理和规则是推导不出来的。(也就是出现了真陈述句但是不在系统之内)。
关于所有推导出来的定理的概述本身却不是“这个系统中的”定理,不仅如此这个概述的否定也不属于系统当中。这是一个系统的“不完全”表现,书中叫做“ ω不完全性 ”,这个ω是希腊字“欧米伽”,所以可以叫做:“欧米伽不完全性”(自然数的全体有时候被记作“ ω ”)
书中有原文对于“ω不完全性”有这样一个精确的定义:
“一个系统是ω不完全的,如果在一个金字塔中的所有串都是定理,而全称量化的概述串却不是一个定理。”(这里的金字塔是指推导出来的定理集合,由于是增加延长规则,所以推导出来的定理会越来越长,从上面短的定理到下面长的定理,看起来就像个金字塔)。
这个情况有一个对照,那就是欧几里得几何学,他的第五平行公设有点类似的情况,也就是说系统中存在不可判定的定理的情况,但这个不可判定的情况对于系统本身来说并不是什么大碍,也并不会影响系统运行,更不会导致系统奔溃,恰恰相反这证明了系统可以进行扩充升级(典型的例子是非欧几何学)。
ω不完全性和上一篇关于逻辑系统中涉及到的不一致性不是一回事,后者有点类似于,两个截然相反的句子在系统当中都是定理,很明显这会造成系统的矛盾性。而ω不一致性并不会导致矛盾,它仅仅是表现出了系统存在扩充的可能性:
“这种不一致性的产生是由于下面两件事的对立:(1)一个有一些定理组成的金字塔,它们集合起来断言所有的自然数具有某种性质,与(2)一个单个的定理,它看上去是断言并非所有的自然数具有该性质。我们称这种不一致性为ω不一致性。一个ω不一致的系统更像一个被人们‘初拒后纳的’非欧几里得几何……
这就告诉了我们:迄今所介绍的TNT的公理和规则并没有完全固定住对TNT符号的解释。在一个人的心智模型中这些符号代表什么概念,这仍然还有种种变化的余地。这种种可能的外延中的每一个,都可以进一步固定住其中的某些概念,只是以不同的方式而已。”
注意到目前为止的讨论是,仅仅以皮亚诺算术公理的前四个加上推理规则所得出的种种结论,我们发现了ω不完全性,随后作者就尝试对不完全性进行修补(注意是修补不完全性而不是扩充性是系统)。他做了一连串的推导和解释,而简单归纳来说,就是把皮亚诺算术公理的第五条纳入TNT当中来,用来补完前四个构建的系统。
按照书中解决方式是,如何利用一个有穷的推理去证明无穷多的(或者多层级的)定理呢?只要去找出那个构成无穷多定理的模式,并且把模式本身纳入定理之中(证明那个模式)。欧几里得定理(素数有无穷多个)那个时候其实就涉及到了这个问题。
TNT 系统非常强悍,它可以证明一篇标准的关于数论的专门论文中所能找到的每一条定理。但是有一个很大的问题——这么做太累了!那相当于我们验算乘法的时候,把每一行乘以每一纵之后再去挨个数一遍。用书里的话来说,人们运用形式系统时,在彻底的形式化之后,只能放松形式化原则,否则的话形式系统会太过庞大最后失去了实际意义。
这就是之前一直说的形式系统之于现实世界的同构和混淆的由来,反复要提到的J方式和U方式的区别。实际上依然还存在实际意义,我们为了获得实际意义就必须走在一条暧昧不清的区间当中——以TNT系统为例子,必须把这个系统放到一个更大的语境当中去,这个系统才能够更加有效,因为更大的语境可以囊括系统以及系统可以扩充的部分。这个方式可以帮助加速TNT的推导(上面的补充不完全性就是一个例子)。只不过这个方式并不会影响系统本身,TNT还是那个样子,它依旧不完全。
TNT终究只是数论的对应而不是数论本身,有无限的时间的话,用机械化方式(形式推理)确实可以解决任何理论领域内的问题,然而那对于人来说就没什么意义了。(记不记得之前笔记里关于欧几里得定理和芝诺悖论的结合?那个一步之遥却永远到不了的结论?)
我们已经知道TNT是命题演算的强化升级版系统,那么经过了强化升级(更复杂,处理能力更强)之后,命题演算的一致性还能保持到TNT里面么?我们知道TNT实际上就是用命题演算的方式来处理数论,那么我们可以凭着感觉相信一致性是可靠的,可是这个相信并不能那么肯定,因为实际上在推导规则里面已经产生了疑惑,那么多的推到规则,有些似乎看起来也有些可疑,一致性的保障从何而来?(体会一下玩狼人杀时候的那种怀疑心态),所以这个时候严谨的证明是人们迫切需要的。
但这个严谨的证明手段恰恰成了问题所在,足够严谨的证明手段(形式推理、机械化的)是不可能完成的海量工作,除非时间无限,否则这个手段对人就没有任何意义。那么是否可以提高效率呢?这就是希尔伯特计划的由来了,我们之前在第二篇数学逻辑的圣战当中说到过这个算是数学界“大远征”的宏大计划。
希尔伯特计划是由德国数学家大卫·希尔伯特在1920年代提出的一个宏大计划,它的目标是获得一个严谨的关于公理系统相容性的证明。整个计划最终想要获得的结果是,为全部数学提供一个安全的理论基础,这个理论基础包含如下内容:
1·所有数学的形式化,所有数学使用一种统一的严格形式化的语言,并且按照一套严格的规则来使用。
2·完备性:在数学形式化之后,在数学之内的所有真命题根据上述规则都可以严格证明。
3·相容性:运用这套严格形式化的数学基础以及规则,确保不会出现矛盾(悖论)。
4·保守性:不依靠“假设”获得与进行“假设”后得到的相同的结论(比如:不可数集合)。
5·确定性:用一个算法,来确定每一个形式化的命题是真是假。
书里说,希尔伯特以及他们那一派的这个方式就是尝试以小牵大,拥有穷的推理规则来证明形式化数论的一致性。以一个小的“弱”系统牵动起一个大的“强”系统,然后层层递进,最后拉动起整个数学(这听起来就跟流浪地球一样浪漫)。然而哥德尔不完备性定理的证明,让这个计划毫无疑问的破产了,就好像我们很确定永动机是肯定造不出来的。——个人觉得希尔伯特计划确实很像是建造一个数学理论推到的永动机,然而最后证明这是不可能的。
“哥德尔证明了,要想牵引粗绳,不能用更细的绳子,细绳中没有足够结实的。少来些隐喻,我们可以说:任何一个强的足以证明TNT的一致性的系统起码与TNT本身一样强。从而,转圈子是不可避免的。”
几乎是赶在回国前的最后一刻写完了这篇稿子,随后就要动身了。这篇笔记的压力丝毫不少于前面几篇,可能还更大——配图太难找了,几乎是纯数学理论的内容,能找什么配图来呢?而且可能存在很多谬误,也会特别的无聊。所以对于能够看到这里的朋友表示十二万分的感谢,谢谢支持。下一篇笔记的内容应该是在国内休假的这段时间写完吧,下次再会。
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